從切蘋果到量子臨界點：“怎么切”為何如此重要？

糾纏熵通常被當作觀察量子臨界性的窗口，但這扇窗口看到什么，竟然和“怎么切”密切相關。我們近期發表在Physical Review Letters上的研究發現，不同的糾纏切割方式會在切割邊界上誘導出不同的低能結構，因而讓糾纏熵混入額外的邊界信息。換句話說，糾纏切割有時并不只是數學步驟，它在物理上可以等效為一條邊界。

撰文 | 朱彥璋、王哲（西湖大學物理系量子多體計算實驗室）

大家可能見過這樣一個小實驗：把一個蘋果攔腰橫切，切面會露出一個清晰的五角星；如果換個方向切，這顆“星”就不見了。蘋果本身沒有變，變的只是切割方式，但我們觀察到的結構卻完全不同。這個簡單的例子揭示了一個常被忽略的事實：當一個系統的內部結構足夠復雜時，我們如何切割、如何觀察，會直接影響我們能夠看到的結構。

圖一：橫切蘋果的“五角星”

糾纏與切割

在量子物理中，糾纏被用來描述復合系統內部各部分之間的量子關聯。為了研究這種關聯，物理學家通常把系統劃分成兩個部分，通過對其中一部分的自由度求偏跡（partial trace），從而提煉出另一部分的狀態，并用一個量來衡量這兩部分之間剩下多少關聯，這個量就是糾纏熵（entanglement entropy）。在大量模型中，人們發現，當體系接近量子相變點時，糾纏熵的變化方式往往具有普適性，能夠反映體系的臨界行為，因此糾纏逐漸被當作一種探測體相性質的重要工具，尤其是在一些非常規的量子相變中[1]。在這一過程中，一個幾乎被默認接受的前提是：只要體系足夠大，糾纏熵就能很好地反映體相性質，而不依賴于具體的二分切割方式。

近年來，對二維量子磁體的研究發現了一個耐人尋味的現象：在同一個量子臨界點上，僅僅改變糾纏切割的方向，就可能得到不同的糾纏標度行為。有些切割方式看起來與理論預期高度一致，而有些則明顯偏離[2]。這就像是在研究同一個蘋果，卻因為切法不同，有時看到五角星，有時卻什么也看不到。這些差異究竟意味著什么？是有的切割方式未能反映量子系統的性質，還是有的切割方式本身引入了額外的信息？

要回答這個問題，關鍵在于認識到一件事：糾纏切割雖然不會改變體系的哈密頓量，但它確實引入了一條清晰的分界線，這條線在物理效果上扮演了類似“邊界”的角色。事實上，先前已有研究發現，相比于光滑的（cornerless）糾纏切割，有邊角的糾纏切割方式會在糾纏熵中引入額外的對數修正項[3]。這也啟發了我們對于切割方式的關注。

在研究臨界現象時人們早已知道，在具有開放邊界條件的系統中，真實物理邊界并不總是平凡的。不同的邊界條件，可能對應完全不同的邊界行為，有的邊界無序，有的卻能夠形成自己的低能結構[4, 5]。同時，研究物理系統邊緣行為的科學家們曾經提出過Li-Haldane-Poilblanc猜想：對于有些量子系統，真實開邊體系的邊緣激發譜（edge excitation spectrum）與糾纏譜（entanglement spectrum）的低能部分有相似的物理性質[6, 7]，這暗示了我們真開邊與糾纏切割在有些系統中有對應關系。如果糾纏切割在物理上可以被看作一種等效邊界，那么一個自然的問題就是：不同的糾纏切割方式，是否會對應不同的“邊界行為”，從而影響糾纏熵中所包含的信息？為了檢驗這一點，我們研究了二維J-Q?自旋模型在不同切割方式下的邊緣臨界行為[8]。

兩種切割，兩種邊界物理

方向的標準切割（正切），以及與晶格成45°的傾斜切割（斜切）。數值結果顯示，這兩種切割方式在糾纏邊界上誘導出了本質不同的低能行為。在標準切割下，切割線附近的關聯隨距離衰減，表現得像一個普通（ordinary）、無序的邊界，糾纏主要由體相的臨界漲落控制；而在傾斜切割下，即使體系整體仍處在量子臨界點，切割線附近卻保持著有限的有序結構，表現出非凡（extraordinary）邊界的特征。這說明，糾纏切割并不是一個中性的選擇，它本身會影響糾纏邊界的物理行為。

糾纏熵只是一個數，相比之下，糾纏譜包含了更豐富的信息，我們還可以進一步對其進行計算和分析。糾纏譜描述的是，當我們只觀察體系的一部分時，這一部分內部允許出現的激發模式。正如前文所言，在許多量子體系中，人們發現糾纏譜與真實物理邊界上的激發譜非常相似，這意味著糾纏對邊界附近發生的事情高度敏感。在我們的研究中，不同切割方式下的糾纏譜，與相應幾何條件下的邊緣激發譜行為高度一致，因此如果某種切割方式會在真實邊界上引入額外的低能結構，那么類似的結構也會出現在糾纏邊界上。它們會不可避免地進入糾纏譜，并進一步影響糾纏熵的行為。

圖三：(a,b)開放邊界條件(OBC)下的邊緣激發譜，(c,d)糾纏譜。(a,c)對應正切，(b,d)對應斜切。可以看到在相同切割方式下的邊緣激發譜與糾纏譜極其相似，驗證了Li-Haldane-Poilblanc猜想，并且不同的切割方式體現出了截然不同的激發行為，進一步說明了這會影響糾纏熵的行為。

我們的結果表明，糾纏熵并不總是一個只反映體相性質的量。只有當糾纏切割對應的邊界是普通的、沒有自身低能結構時，糾纏才能作為體相臨界性的可靠探針。正如蘋果里的五角星所提醒的那樣，在研究復雜系統時，觀察方式本身也可能塑造我們看到的結構。在使用糾纏行為研究量子多體系統時，也許我們不僅要問體系處在什么相，還需要多問一句：我們是如何把它切開的？

感謝合作者們（朱彥璋、劉澤楠、王哲、王艷成、嚴正）在研究中的貢獻。

參考文獻

[1] G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico, and A. Kitaev, Phys. Rev. Lett. 90, 227902 (2003).

[2] J. D’Emidio and A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 133, 166702 (2024).

[3] E. Fradkin and J. E. Moore, Phys. Rev. Lett. 97, 050404 (2006).

[4] L. Zhang, and F. Wang, Phys. Rev. Lett. 118, 087201 (2017).

[5] C. Ding, L. Zhang, and W. Guo, Phys. Rev. Lett. 120, 235701 (2018).

[6] H. Li and F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 101, 010504 (2008).

[7] D. Poilblanc, Phys. Rev. Lett. 105, 077202 (2010).

[8] Y. Zhu, Z. Liu, Z. Wang, Y.-C. Wang, and Z. Yan, Phys. Rev. Lett. 136, 046501 (2026).

[9] A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007).

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