憶萊格特教授：“放棄”格林函數(shù)的物理大師

本文是西湖大學(xué)吳從軍教授為懷念萊格特（A. J. Leggett）教授而作。作者回憶了早年在UIUC受教于萊格特的親身經(jīng)歷，著重刻畫了他獨(dú)特的治學(xué)風(fēng)格：拋開晦澀的數(shù)學(xué)形式，轉(zhuǎn)而使用最樸素的方法，追求對物理圖景的領(lǐng)會。這種不拘教條、啟迪思想的治學(xué)、育人之道，是一場“以心傳心”的智慧交接。風(fēng)姿長在，心花永傳。

撰文 | 吳從軍（西湖大學(xué)物理系）

托尼?萊格特（A. J. Leggett）教授于不久前去世，這個消息令人悲傷。

萊格特教授是著名的理論物理學(xué)家，他的一生都獻(xiàn)給了凝聚態(tài)物理學(xué)的研究和教學(xué)。他在超流、超導(dǎo)和宏觀量子現(xiàn)象等領(lǐng)域內(nèi)耕耘多年，曾于2003年因為在3He超流等方面的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾物理學(xué)獎。除此之外，他還對高溫超導(dǎo)對稱性的相位敏感探測、量子體系退相干等基本問題，做出了杰出的貢獻(xiàn)。

我早年在伊利諾伊大學(xué)香檳分校（University of Illinois at Urbana-Champaign, 簡稱UIUC）學(xué)習(xí)，期間上過萊格特教授的課。時間已經(jīng)過去了四分之一個世紀(jì)，當(dāng)年的記憶也開始模糊，但是他對我的研究和教學(xué)生涯的影響是持久的。萊格特教授的授業(yè)解惑，不囿于表層的推演，而追求物理圖景的通透領(lǐng)會，將自己對物理世界的深刻體悟，化作可被理解、可被傳承的真知。我對固體物理的直觀理解，是通過他的課才有了實質(zhì)性的提升。

下面我把自己的一些親身經(jīng)歷和感受分享給大家，算是對萊格特教授的一份懷念。

在UIUC上萊格特教授的課

我在美國讀物理學(xué)博士的頭兩年（2000—2002年）是在UIUC的物理系度過的。UIUC地處美國中部的小城，風(fēng)趣地說，是一座玉米地里的名校。該校的物理系是公認(rèn)的凝聚態(tài)物理圣地，因1950年代巴丁教授（John Bardeen）的加入而達(dá)到高峰。巴丁研究組在此做出了常規(guī)超導(dǎo)現(xiàn)象的微觀理論，被學(xué)界稱為BCS（Bardeen-Cooper-Schrieffer）理論，是凝聚態(tài)物理最重要的成就之一。巴丁也因此獲得了他的第二個諾貝爾物理學(xué)獎。

那時候，萊格特教授在教凝聚態(tài)物理的基礎(chǔ)課，包括《超導(dǎo)理論》和《固體理論》，都是硬核的課程。我在國內(nèi)的時候，已經(jīng)學(xué)習(xí)過這兩門課，算是有一定的基礎(chǔ)。我當(dāng)時專注于鉆研形式理論，例如基于格林函數(shù)的計算，具備一些技能，但是這并不代表我能夠理解形式背后的物理。在萊格特教授的課上，我慢慢開了竅。可以說，我對固體物理的理解是在UIUC的課堂上打下的基礎(chǔ)。

為什么我會有這樣的感觸呢？

首先是萊格特教授的講義寫得極好。他用最初等的方法，把電子—電子之間、電子—晶格之間的相互作用交代得明明白白，尤其是對超導(dǎo)和磁性等現(xiàn)象解釋得清清楚楚。在他的講義里面，你幾乎看不到場論和格林函數(shù)這樣比較高深的工具，甚至連不算高深的二次量子化方法也用得很少。

他的拿手好戲是寫一次量子化的多體變分波函數(shù)。當(dāng)你在和他討論的時候，他分析的是電子的運(yùn)動及其對外場的響應(yīng)，說的語言是屏蔽、散射、交換（exchange）、關(guān)聯(lián)、相干、分子場、守恒律、求和規(guī)則等，而不是頂角、自能、有效規(guī)范場、禁閉、去禁閉等高深術(shù)語。

另一方面，萊格特教授的作業(yè)和考試的質(zhì)量非常高，解題的過程非常接近于做真實的研究。他親自將凝聚態(tài)歷史上的知名工作改編成作業(yè)和考題，并且加上他自己的見解。

那年《固體理論》的期末考試是take-home的。下圖所示的就是那年的試題、我的解答和萊格特教授批改的片段。考試內(nèi)容采用了一個1990年代末的研究焦點(diǎn)問題——二維電子氣中的金屬絕緣體轉(zhuǎn)變。這是個相當(dāng)困難的課題，至今也沒有完全解決。他將其分解改編成一系列循序漸進(jìn)的問題，帶領(lǐng)我們了解實驗設(shè)置、分析電子在其中的關(guān)聯(lián)和散射等，極具實戰(zhàn)性。我花了幾個晚上將其解答完畢，吃力而又興奮，是一種和高手過招的感覺。

圖1. 2001年秋季學(xué)期，萊格特教授所授《固體理論》課期末考試（take-home）試題、我的解答以及他的批改（片段）。他給我的成績是38分（滿分40分），相應(yīng)的批語是“+1 bonus point (for going much further than intended on some questions)”。

《固體理論》課程的講義、作業(yè)、考試題目，我都保留了下來。但是《超導(dǎo)理論》課程的資料，在后來搬家的過程中被郵局遺失，非常可惜。我后來借了同學(xué)的資料進(jìn)行了復(fù)印，略微彌補(bǔ)了一些遺憾。

剛開始的時候，我并不習(xí)慣萊格特教授的風(fēng)格，甚至還曾天真地以為他不懂格林函數(shù)，但是我很快就意識到了自己的淺薄。有一次我在圖書館查閱他早年工作的時候，發(fā)現(xiàn)早在1960年代他就是格林函數(shù)的行家了，而此方法是1950年代才由前蘇聯(lián)朗道學(xué)派引入到凝聚態(tài)物理的研究中的。在1970年代以后，他的研究風(fēng)格已經(jīng)成熟，就不常用格林函數(shù)了。

十幾年以后，我和同行談天，聊到萊格特教授的研究風(fēng)格。那位同行評論道，這正是顯示出他功力深厚的地方：格林函數(shù)方法有固定的程式，正因為如此，往往掩蓋了鮮活的物理。變分波函數(shù)則是把物理以最直接的方式表達(dá)出來。這只有當(dāng)你對物理有了真正的理解之后，才能夠做到。

我深以為然。這就像古代高明的劍客，他講究的不是優(yōu)雅的套路，而是如何一招制敵。在凝聚態(tài)物理的歷史上，最重要的兩個理論突破，都是通過變分波函數(shù)做出的，包括前面提到的BCS波函數(shù)和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的拉夫林波函數(shù)。

萊格特教授講課的方式，也很有意思。他把講義打開，用濃重的英國口音一字一句地讀下去。念完一段之后，他抬起頭，問一句：“Any questions?”如果沒有人提問的話，他就默認(rèn)大家都懂了，繼續(xù)往下讀。這種教學(xué)方式很難說是先進(jìn)。但是在他問話的時候，你敢于提問，那情況就大不一樣了。

我當(dāng)時在課堂上經(jīng)常提問，每次答疑的時候也準(zhǔn)備好問題向他請教。我常問的是如何把格林函數(shù)和他的直觀方法對應(yīng)起來。他的評論往往是真知灼見，經(jīng)常幾句話，就抵得上我思索一個星期乃至更久。不知不覺中，我開始能夠“看得見”電子的運(yùn)動了，開始理解它們之間的競爭和協(xié)作。

在萊格特教授的課上，也有一些有趣的經(jīng)歷。他的課雖然不用高深的技術(shù)，可能正因為如此，其難度反而很大。很多同學(xué)適應(yīng)不了，慢慢地退了課。到了期末的時候，課上還剩下四個人，其中三個后來成為了物理教授，另外一個做了物理期刊的編輯。在最后一節(jié)課上，學(xué)生們要填寫對課程的反饋，正巧我有事沒有去。他把紙質(zhì)的問卷放到了我的郵箱，并附上了一個便簽，上面寫道，“從軍，你也填一下吧。四缺一是個很大的系統(tǒng)誤差。”

萊格特教授對我的研究和教學(xué)生涯的影響

我在UIUC的時候，導(dǎo)師是E. Fradkin教授，跟他在做拉廷格液體的研究。我的研究進(jìn)展不快，也就沒有余力和萊格特教授在研究上面多做交流。

在2002年春季，他給了我一個題目，想把他以前的量子退相干的spin-boson模型和拉廷格液體結(jié)合起來，細(xì)節(jié)已經(jīng)記不清了。可惜的是，當(dāng)時我即將離開UIUC，這個課題也就沒有開展下去，這是一件非常遺憾的事情。

我轉(zhuǎn)學(xué)到斯坦福大學(xué)跟隨張首晟教授攻讀博士學(xué)位。和張老師聊天的時候，也會談及當(dāng)代

我在張首晟老師指導(dǎo)下做博士論文的工作，也得益于我從萊格特教授課上學(xué)到的費(fèi)米液體理論，以及我從Fradkin教授那里受到的訓(xùn)練。論文有三個部分，其中一個是研究費(fèi)米液體理論的磁性相變理論，將巡游鐵磁性推廣到具有非常規(guī)對稱性的通道。在做博士后期間，我將其進(jìn)一步發(fā)展，稱之為“非常規(guī)磁性”[2]，這是一大類新奇的量子磁性金屬物態(tài)。

這個工作在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域得到了好評。2007年的時候，我在找大學(xué)里面的物理教職，UIUC物理系給了我助理教授的職位。我想萊格特教授對這項工作應(yīng)該是喜歡的。“非常規(guī)磁性”的研究后來繼續(xù)發(fā)展。當(dāng)今凝聚態(tài)物理研究的焦點(diǎn)之一——“交錯磁性”可以視為“非常規(guī)磁性”中的偶數(shù)分波通道的那一類。

風(fēng)姿長在，心花永傳

萊格特教授在2018年寫的文章[4]，我非常推薦大家一讀，最近網(wǎng)上也出現(xiàn)了這篇文章的中譯版。其中，他對費(fèi)米液體理論有深刻的描述。他說在朗道以前，凝聚態(tài)物理學(xué)家們針對要研究的系統(tǒng)，習(xí)慣于寫下一個微觀的哈密頓量，再對其求解，但是對于像3He那樣復(fù)雜的凝聚態(tài)系統(tǒng)，這并不可行。朗道轉(zhuǎn)而研究如何在可觀測量之間建立聯(lián)系，由此可以預(yù)言新的可觀測量，來供下一步實驗檢測。這實際上就是“重正化”理論的精髓。

在文章后半部分的一段里面，他批評了物理學(xué)中的形式主義，指出形式化的理論在數(shù)學(xué)上固然簡潔，但是對于物理的理解并非是最直接的。他評論道，“我開始的時候是一個格林函數(shù)的癡迷者（aficionado），但是我最終看到了光明。”

不少同學(xué)喜歡做抽象的模型，但是在這些模型里面“看”不見電子。物理學(xué)是兩條腿走路的，形式和實在的結(jié)合才是物理學(xué)健康的發(fā)展道路。這可能也是萊格特教授的工作留給我們的啟示。

在當(dāng)今AI盛行的時代，像萊格特教授這樣的長者所傳遞給后人的真知灼見，愈發(fā)顯得彌足珍貴。他的研究與教學(xué)，“將此花，由我心傳至君心”，對我們這些后輩物理學(xué)家真正起到了“傳道、授業(yè)、解惑”的作用。

參考文獻(xiàn)

[1] A. J. Leggett: Superfluid 3He: the early days as seen by a theorist, Rev. Mod. Phys., Vol. 76, No. 3, July (2004).

[2] C. Wu,“Unconventional Magnetism,” online talk at Kavli Institute for Theoretical Physics, University of California, Santa Barbara,https://online.kitp.ucsb.edu/online/coldatoms07/wu1/.

[3] A. J. Leggett, “A theoretical description of the new phases of liquid 3He”, Reviews of Modern Physics 47, 331(1975).

[4] A. J. Leggett, “Reflections on the past, present and future of condensed matter physics”, Sci. Bull. 63 (2018).

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