時間拓撲物態

|作者：童帥帥 張起成 邱春印?

(武漢大學物理科學與技術學院）

本文選自《物理》2026年第4期

摘要時間拓撲物理是空間拓撲物態的時間類比，它揭示了動量帶結構的拓撲性質與時間界面態之間的深刻聯系。這一概念不僅革新了傳統能帶拓撲的理論范式，也為時間維度上的波操控提供了新的機遇。文章將介紹時間拓撲態的基本概念及其研究進展，并主要關注基于折射率周期性調制的光子時間晶體中的時間拓撲態，具有增益/損耗的非厄米系統中的時間拓撲態，以及時間拓撲與空間拓撲相結合所衍生的時空拓撲事件。

關鍵詞拓撲物理，動量帶隙，光子時間晶體，弗洛凱調控，非厄米系統

01

引 言

拓撲物態因為其全新的物理機制和缺陷免疫的能量傳輸等極具潛力的應用前景引發了廣泛關注。在過去的十多年里，物質的拓撲相已經從凝聚態物理[1—3]擴展到多種經典波體系[4—7]。如圖1(a)所示，在拓撲物相的研究中，體—邊對應關系起著核心作用，它揭示了體能帶拓撲與邊界態之間的深刻聯系[1，8]。從數學上看，體帶拓撲可由幾何不變量來表征，這些不變量刻畫了體本征態在動量布里淵區中的整體幾何性質，例如一維體系中的Zak相位[9]和二維體系中的陳數[10，11]等。物質的微觀空間構型是決定其物理性質的基本因素之一，研究者們通過精心的空間周期結構設計產生了層出不窮的拓撲相[12—15]，極大地豐富了拓撲物理的內涵。作為另一個重要的物理維度，時間維度上的周期調制早在2011年就被引入用于打破時間反演對稱以實現無需磁場的量子霍爾效應[16]。這類周期性時間調制系統可由弗洛凱定理分析，因此也被稱為弗洛凱系統。時間周期驅動帶來了 一系列獨特的非平衡拓撲相[16—26]，包括反常弗洛凱拓撲絕緣體[19，20]和具有時空交織對稱性的拓撲時空晶體[22—26]。然而，這些研究主要集中在動量布里淵區中的能帶拓撲，時間調制更多地被視為一種用于操控空間拓撲邊界態的額外自由度。

圖1 空間和時間體—邊對應的示意圖 (a)能帶拓撲變化支持能量帶隙內的空間拓撲邊界態；(b)動量帶拓撲變化支持動量帶隙內的時間拓撲邊界態(箭頭表示本征態，它們在動量/能量布里淵區內的演化決定了平庸和非平庸帶拓撲)

近年來，研究人員利用物理系統中時間和空間在數學上的等價性提出了空間拓撲態在時間維度的類比，即時間拓撲態。與傳統空間拓撲相對應，時間拓撲與體帶結構在能量布里淵區中的幾何性質相關，可由此定義時間拓撲不變量來定量描述。這種能量布里淵區中的拓撲在時間維度的變化，會在動量帶隙內產生時間局域的拓撲邊界態[27]，如圖1(b)所示。盡管這種從空間到時間的類比是自然而優美的，時空維度的固有差異卻使時間拓撲與空間拓撲存在本質不同。比如，不同于僅支持空間衰減態的能量帶隙，動量帶隙內同時存在一對時間指數衰減態和指數增長態[27—33]，這種差異使時間局域化比空間局域化更難實現。此外，時間維度的單向性引入了不可違背的因果律限制，這必將導致與空間拓撲迥異的全新物理。結合當前蓬勃發展的空間拓撲物相，可以預見時間拓撲這一革命性的范式將產生豐富的拓展。當前，有關時間拓撲的理論研究仍處于早期階段，其固有的時變屬性對實驗技術也帶來了新的挑戰。本文介紹了近年來時間拓撲態的研究進展。首先介紹折射率周期變化的光子時間晶體中的時間拓撲態，其次介紹多種包含增益/損耗的非厄米系統中的時間拓撲態研究，最后介紹時間拓撲與空間拓撲結合形成的時空拓撲事件。

02

光子晶體與時間拓撲

2.1 光子時間晶體中的時間拓撲態

時間拓撲態的概念最早在光子時間晶體中提出，如圖2(a)所示，光子時間晶體是一種介電常數隨時間周期性變化的材料[27—34]。基于麥克斯韋方程中時間和空間的等價性，時間調制將引起時間折射和反射[35]，二者之間的干涉會形成動量帶隙，這些帶隙進而分隔出不同的動量帶(圖2(b))。2018年，Lustig等計算了光子時間晶體的動量帶在能量布里淵區的Zak相位[27]。如圖2(b)所示，該系統的Zak相位僅能取0或π，且其符號決定了帶隙內傳播模式中前行波與時間反射波之間的相對相位關系。這一相位差可以通過拓撲不變量完全預測，并在數值模擬中得到驗證。更重要的是，作者提出了時間拓撲邊界態的概念。如圖2(c)所示，當兩個具有不同拓撲相(即不同Zak相位)的光子時間晶體在時間上相接時，在二者的時間界面處會出現指數局域化的振幅峰值，形成類似空間拓撲邊界態的時間局域態。這種現象在階躍調制和平滑調制模型中均保持穩定，展現出一定的魯棒性。盡管如此，在時間無序下這種邊界態仍然容易失效。

圖2 光子時間晶體中的時間拓撲 (a)介電常數隨時間周期性變化的光子時間晶體；(b)光子時間晶體的動量帶結構及其Zak相位；(c)由拓撲性質不同的光子時間晶體所組成的時間界面結構中存在時間局域態；(d)手性對稱光子時間晶體示意圖；(e)時間界面結構的透射譜。對于手性對稱保護的光子時間晶體，時間邊界態的動量對無序具有極強的魯棒性

2025年，Yang等針對時間邊界態的魯棒性問題提出手性對稱保護的光子時間晶體，顯著提升了邊界態對外部擾動的穩定性[36]。如圖2(d)所示，受一維空間拓撲模型啟發，通過將每個時間層的持續時間與其折射率之比設為常數，該系統在時間維度上實現了交錯耦合的時間Su—Schrieffer—Heeger模型。這種光子時間晶體具有手性對稱性，其拓撲性質可由量子化的動量帶卷繞數表征。研究者通過構建由兩個繞數不同的光子晶體拼接而成的時間界面，在動量帶隙中心觀測到時間拓撲邊界態，其表現為透射譜中的尖銳凹陷。圖2(e)顯示了手性對稱和時間反演對稱光子時間晶體界面結構的透射譜。與基于時間反演對稱的邊界態相比，手性對稱保護的邊界態對隨機時間無序表現出極強的魯棒性：本征動量幾乎不受擾動影響，且時間局域性隨無序程度增強而增強。相反，時間反演對稱保護的邊界態在無序下波動劇烈，且局域性顯著減弱。

2.2 微波光子時間晶體中的時間拓撲態觀測

2025年，Xiong等首次觀察到了光子時間晶體動量帶隙內的波放大效應與時間拓撲邊界態，實現了對理論預言的關鍵實驗驗證[37]。該研究的關鍵突破在于構建了一個真實的微波波段光子時間晶體。如圖3(a)所示，研究者設計并制作了一種動態傳輸線超材料，它由在復合材料FR4基板上光刻的微帶線構成，并周期性加載了64對并聯變容二極管和串聯電感(DTL)，通過正弦調制變容管的偏壓(BSF)實現介電常數的周期性時間調制。為了清晰地觀測光子時間晶體內部的時空波動力學，團隊采用了差分調制方案：在每個單元中，一對極性相反的變容管對稱放置在微帶線兩側，并施加反相的調制信號。這種設計極大地抵消了調制信號對傳輸信號的串擾，從而得以直接、清晰地測量時變介質內部的電磁場時空演化。

圖3 實驗觀測微波光子時間晶體中的時間拓撲態 (a)實驗裝置圖；(b)微波光子時間晶體的能帶結構觀測；(c)實驗驗證動量帶隙內的時間增長態；(d)兩種拓撲不同的光子時間晶體動量帶隙內時間透射波和反射波的相位差φ，兩者之和為零的動量位置將出現時間邊界態；(e)時間拓撲邊界態的觀測

圖3(b)展示了實驗測得的微波光子時間晶體的能帶結構，在歸一化頻率為0.5處可以觀察到時間調制所打開的動量帶隙。當用寬帶脈沖激發時，如圖3(c)所示，盡管初始脈沖的動量中心位于帶隙外，但一旦時間調制開始，能量會迅速向動量帶隙中心集中，且動量帶隙中心的能量隨時間呈指數增長，這直觀證實了光子時間晶體的非共振放大機制。為驗證光子時間晶體的拓撲性質，研究者通過測量時間折射波與時間反射波之間的相位差φ，反演了系統的Zak相位。圖3(d)給出了兩種Zak相位相反的光子時間晶體(通過改變調制信號的初始相位實現)的φ隨動量的變化關系，結果與理論預測吻合，明確驗證了動量帶隙的拓撲性質。進一步，研究者通過在時間上拼接兩個具有相反Zak相位的光子時間晶體構造了時間界面。如圖3(e)所示，在該時間界面實驗觀測到了一個清晰的時間局域態：能量在界面時刻達到峰值，在界面兩側呈先增長后衰減的態勢。有趣的是，時間邊界態在透射譜上對應一個明顯的凹陷，這與空間拓撲絕緣體中邊界態對應透射峰形成鮮明對比。實驗結果完美驗證了時間拓撲體邊對應關系。

03

非厄米系統中的時間拓撲態

最近，時間拓撲態的概念被迅速拓展到光子時間晶體之外的其他物理系統。由于動量帶隙廣泛存在于非厄米系統[38—40]中，近年來，多個研究團隊對不同非厄米系統中的時間拓撲態進行了研究。相比于光子時間晶體，這些拓展不僅豐富了時間拓撲的物理內涵，更為時間拓撲態的實驗觀察提供了便利。

3.1 光學合成晶格中的時間拓撲態

2025年，Ren等報道了時間拓撲態的首次實驗觀察[41]。如圖4(a)所示，該研究基于光脈沖在耦合光纖雙環結構中的離散時間量子行走，其中脈沖到達時間編碼為合成空間位置，而循環次數對應離散時間步長。借此，他們構建了一個具備真實時間單向性的合成時空晶格。研究者通過控制兩個環路間的可調耦合比與周期性增益/損耗調制，在合成維度上實現了具有完整動量帶隙的布洛赫動量能帶結構。該晶格在時空映射關系上類似于光子時間晶體，但其高度可控性為精確研究動量帶隙物理提供了理想平臺。圖4(c)和(d)在實驗上對比了光在動量體帶和動量帶隙內的傳播動力學。當脈沖的動量位于體帶內時，經過一個時間“平板”后，由于在前后兩個時間界面分別發生時間折射與時間反射，最終會分裂為4個脈沖，且總能量守恒。而當脈沖動量位于動量帶隙內時，在時間平板內部會發生指數放大，最終僅分裂為兩個被放大的脈沖。這一現象清晰揭示了動量帶隙模式與體帶模式在時域行為的本質區別。

圖4 光學合成晶格中的時間拓撲 (a)光學合成晶格的示意圖；(b)時間拓撲邊界態的觀測；(c)動量體帶的時間反射和時間折射；(d)動量帶隙態的時間反射和時間折射；(e，f)動量帶隙的拓撲性質，由有效質量mγ0的符號變化引起的動量帶本征態反轉表征

為分析該合成晶格的拓撲性質，圖4(e)和(f)給出了動量帶隙兩側能帶頂點的本征態，本征態的反轉表明該光學合成晶格中的動量帶隙拓撲性質由有效質量mγ0的符號決定。該研究的核心目標，在于觀測由動量帶隙拓撲導致的時間拓撲邊界態。如圖4(b)所示，通過設計兩個拓撲不變量相反的時間調制區域，并在其間引入一個突變時間界面，研究團隊成功激發出了局域在該界面的拓撲態。有趣的是，盡管界面兩側的子系統各自支持指數增長的動量帶隙模式(不同于僅支持空間衰減態的能量帶隙)，該界面態的能量在界面向前和向后兩個時間方向上均呈指數衰減，形成一個局域在特定時刻的能量峰。此外，結果還顯示該時間拓撲邊界態對無序擾動具有魯棒性，證實了其受拓撲保護的本質。

3.2 弗洛凱宇稱—時間對稱晶格中的時間拓撲態

2025年，Tong等理論提出并實驗證實了宇稱—時間對稱弗洛凱晶格中的動量帶拓撲，首次提供了從體帶拓撲不變量到時間邊界態的完整實驗證據[42]。如圖5(a)所示，該模型中每個單胞包含兩個通過最近鄰耦合連接的原子。通過引入時間周期調制的動態增益/損耗(γ)，系統將在能量布里淵區內出現弗洛凱動量帶隙，相應的動量帶拓撲性質可由定義在能量布里淵區上的貝里相位表征，其取值為量子化的0或π，分別對應平庸與非平庸拓撲相。實驗上，利用聲學合成維度設計在動量空間實現了理論晶格模型。如圖5(b)所示，在該設計中，兩個相同的空氣聲腔模擬晶格格點，一對交叉的窄管道模擬胞內耦合；增益與損耗由外接反饋電路產生，并通過波形發生器進行時間同步的周期性調制；胞外耦合由一對相位可調的耦合電路模擬，通過調節耦合電路的相位偏移可以模擬布洛赫動量，從而在動量空間重構晶格的哈密頓量。為直接驗證系統的動量帶拓撲性質，研究人員發展了一種基于時域波函數測量來重構弗洛凱算子的新方法，由此可獲得系統的有效哈密頓量，進而直接提取系統的復值準能譜與本征態信息。這一方法克服了傳統測量中僅能獲取實能譜的局限，為直接研究弗洛凱系統的拓撲性質提供了關鍵技術。圖5(c)展示了實驗測得的能譜，其中粉色陰影區域為動態調制打開的弗洛凱動量帶隙。進一步，圖5(d)給出了動量帶隙兩側的弗洛凱奇異點所對應的本征態。可以看到，當調制參數γ改變符號時，兩個奇異點對應的動量發生交換，這清晰地展示了動量帶反轉。進一步基于實驗提取的本征態實現了對動量帶在能量布里淵區內的貝里相位的直接表征。如圖5(e)所示，實驗結果明確區分了拓撲平庸與非平庸相，首次提供了動量帶拓撲的直接證據。

圖5 弗洛凱宇稱—時間對稱晶格中的動量帶拓撲 (a)弗洛凱宇稱—時間對稱晶格示意圖；(b)時變聲學合成晶格示意圖；(c)能帶結構測量，其中粉色區域為動態增益/損耗引起的弗洛凱動量帶隙，藍色區域為靜態增益/損耗引起的靜態動量帶隙；(d)實驗觀測到的動量帶反轉；(e)平庸(左圖)和非平庸(右圖)動量帶拓撲的實驗觀測

為進一步探索時間邊界態，研究人員在時域上拼接拓撲性質不同的兩種晶格，并計算其在時間周期邊界條件下的動量譜。如圖6(a)所示，在該晶格的動量帶隙內存在一個孤立態(請注意，在時間周期邊界條件下晶格的動量譜發生離散化，形成“動量級”，這類似空間晶體從布洛赫邊界條件到周期邊界條件所發生的能帶離散化)。圖6(b)給出的波函數時域分布顯示該孤立態局域在時間邊界處，證實其為拓撲時間邊界態。實驗上，該時間界面態可由聲學系統內的聲能變化表征。如圖6(c)所示，在時間界面結構中，弗洛凱動量帶隙內的聲能在時間上不再呈現簡單的指數增長。在特定的動量，指數增長的聲能在經過時間界面后開始衰減，從而形成時間邊界態。圖6(d)給出了部分實驗結果，可以看到，在動量k=0.3π時清晰地觀測到了時間局域的界面態，其聲強在界面附近指數局域。而對于k=π的靜態帶隙態，由于不存在拓撲變化，其聲強依然呈現單調的指數增長。

圖6 弗洛凱宇稱—時間對稱晶格中的時間邊界態 (a)時間界面結構及其在時間周期性邊界下的動量譜；(b)時間界面結構中的時間邊界態(紅色)和體態(灰色)分布；(c)時間疇壁結構在不同動量下的激發態能量演化；(d)實驗觀測弗洛凱動量帶隙內的時間邊界態(k=0.3π)和靜態動量帶隙內的指數增長態(k=π)

3.3 非厄米空間晶格中的時間拓撲態

Li等在2025年提出了在非厄米空間晶格中實現時間拓撲的全新方案[43]。與以往依賴時間調制的方案不同，該研究基于一維二元非厄米空間晶體模型。如圖7(a)所示，其單胞由交替排列的損耗層與增益層構成，按照不同的空間排列順序分為損耗—增益(LG)晶體和增益—損耗(GL)晶體。理論計算表明，當非厄米強度Γ不為零時，系統在布里淵區邊界打開一個動量帶隙，該帶隙內支持隨時間指數增長或衰減的模式。這種現象與光子時間晶體中的動量帶隙相似，但其物理機制截然不同：能量來源于材料固有的增益/損耗，而非對折射率的時間調制。有效哈密頓量分析顯示，該系統在動量帶隙附近可近似為一維有質量狄拉克模型，其中非厄米強度Γ 扮演“虛質量”的角色。因此，當Γ 改變符號時(即從LG翻轉到GL)，系統發生動量帶反轉(圖7(b))，這標志著拓撲相變。

圖7 非厄米空間晶格中的時間拓撲 (a)具有周期性增益/損耗的非厄米空間晶體示意圖；(b)增益/損耗符號變化導致的動量帶反轉；(c)非厄米空間晶體中時間拓撲邊界態的時空分布；(d)實驗觀測時間拓撲邊界態

如圖7(c)所示，考慮系統初始處于LG晶體狀態，并激發其帶隙內的增長模式。如果在某一時刻瞬時翻轉所有單元的增益與損耗符號以構成一個時間邊界，LG晶體中的增長模式會完全耦合到GL晶體中的衰減模式，從而在時間邊界形成一個振幅峰，即拓撲時間邊界態。特別值得注意的是，該邊界態在物理上可視為時間維度上的Jackiw—Rebbi態。其存在僅要求等效的虛質量項(即Γ )在時間上經歷一次符號變化，而不依賴于變化的具體函數形式，這預示了其對時間缺陷和無序具有內在的拓撲魯棒性。研究團隊在一維主動力學晶格上進行了原理驗證實驗，該力學晶格由彈簧耦合的主動旋轉振子構成。實驗中通過反饋控制實現每個振子上的增益或損耗，并能在毫秒量級快速翻轉其符號。圖7(d)所展示的時域信號表明成功觀測到了預期的時間界面態。進一步表明，該時間邊界態對時間缺陷展現出良好的魯棒性，證實了其拓撲保護的本質。然而，與對時間缺陷的魯棒性形成鮮明對比的是，時間邊界態對空間無序非常敏感。其根本原因在于，動量帶隙的存在依賴于布洛赫波矢k是一個好量子數。空間無序會破壞平移對稱，使k不再守恒，導致時間增長模式無法完全耦合到衰減模式，最終引起場發散，時間界面態因此被破壞。

04

時空拓撲態

2025年，Feis等提出了時空拓撲的全新概念，并在合成光子晶格中實現了局域于單一時空點的拓撲事件態[44]。該研究基于一個經典的非厄米弗洛凱Su—Schrieffer—Heeger模型，實驗上通過光脈沖在耦合光纖環中的離散時間量子行走來實現。通過獨立調節耦合參數與時間周期調制的增益損耗，研究團隊不僅能夠制備分別具有能量帶隙的空間拓撲相和動量帶隙的時間拓撲相，還能實現同時具有能量—動量帶隙的時空拓撲相，其帶結構如圖8(a)所示。這個研究的突破性貢獻在于時空拓撲事件的提出與實現。如圖8(b)所示，通過精心設計一個同時包含空間界面和時間界面的十字交叉型結構，并為由此分割的四個時空區域配置不同的空間與時間拓撲不變量，研究者觀測到了一個在空間和時間維度上均呈指數局域的光場，即一個零維的時空拓撲事件。該事件的出現可由一個新定義的時空拓撲不變量準確預測。

圖8 合成光子晶格中的時空拓撲事件 (a)合成晶格的帶結構中同時存在能量帶隙和動量帶隙；(b)左圖：由空間和時間拓撲相變結合產生的時空拓撲事件，右圖：時空拓撲事件在時間和空間維度均表現出指數局域性；(c)由于因果律限制，時空拓撲事件只能在過去光錐內被激發；(d)時空拓撲事件的受限崩塌：在強無序擾動下，拓撲事件態在時間維度保持局域，空間局域則被破壞

由于時間維度的引入和能量—動量帶隙的特殊性，時空拓撲事件展現出傳統空間拓撲所不存在的新奇特性。首先是因果律支配的耦合抑制效應，如圖8(c)所示，拓撲事件只能與其過去光錐內的激發有效耦合，而對于過去光錐外的激發，耦合則被因果律完全抑制。這為拓撲態抵御來自時空非關聯區域的雜散激發提供了額外魯棒性。其次是受限的局域崩塌，如圖8(d)所示，強無序會導致拓撲事件的空間局域性崩塌，但其時間局域性卻得以保留。這與傳統拓撲中帶隙閉合導致拓撲態完全消失的現象截然不同，展現了拓撲魯棒性在多個維度上可分離的新效應。這項研究將拓撲邊界態的概念從單一的空間/時間界面拓展至時空奇點。從應用角度看，通過操控動量與能量帶隙的拓撲來在時空維度上“塑形”光波，有望為時空波前控制、拓撲激光器以及新型成像與通信技術開辟新的技術路徑。

05

總 結

有關時間拓撲物態的研究正在迅速發展，揭示了迥異于傳統空間拓撲物態的全新物理內容。當前對時間拓撲的探索——尤其是實驗研究——仍處于早期階段。作為研究拓撲物態的重要平臺，光學和聲學超材料在研究時間拓撲物態上具有得天獨厚的優勢。隨著時間調制技術的進步，時間拓撲的概念有望被拓展至二維或三維系統，揭示更豐富的時空拓撲行為。除此之外，物質在時間維度上的物理性質已成為多個領域的研究熱點。時間晶體[45—48]、時空晶體[49，50]、時間準晶[51]、時間孤子[52]、時間莫爾晶格[53]和時間維度上的動力學拓撲相變[54，55]等全新概念的提出，不僅加深了人們對時間物態的理解，也對未來開發基于時間調制的新型光/聲換能器和超靈敏傳感器等功能器件具有重要啟示。

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聲學超材料專題

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