一步法 部分線性 工具變量回歸 中的 平均邊際效應

一步法 部分線性 工具變量回歸 中的 平均邊際效應

Average Marginal Effects in One-Step Partially Linear Instrumental Regressions

https://arxiv.org/pdf/2604.11393

摘要

我們提出了一種新穎的方法，用于借助再生核希爾伯特空間方法，估計部分線性工具變量回歸中的平均邊際效應并進行推斷。我們的方法僅依賴于單一的正則化參數。我們得到了該估計量的一致性與漸近正態(tài)性。由于極限分布的方差具有復雜的解析形式，我們提出了一種貝葉斯Bootstrap方法來進行推斷，并確立了其有效性。我們的方法易于實現，并在模擬中展現出良好的有限樣本表現。三個實證應用展示了其在真實數據上的實施過程，表明該方法能夠得出具有經濟意義的結果。

關鍵詞：工具變量，半參數估計，再生核希爾伯特空間，平均邊際效應，Bootstrap。

1 引言

我們考慮部分線性工具變量（IV）模型

平均邊際效應（AME）是許多實證應用中的關鍵研究對象，例如估計教育回報率或衡量產業(yè)組織中的需求彈性。若處理函數 呈線性，則處理的 AME 將等于該函數的斜率系數，并可通過兩階段最小二乘（2SLS）回歸輕易估計。然而，線性或參數假設在經濟理論上往往難以成立，且會帶來模型設定錯誤的風險。當線性假設不成立時，兩階段最小二乘法無法一致地估計 AME，由此得出的因果推斷或反事實分析可能會產生誤導。采用半參數工具變量（IV）模型設定有助于克服模型設定錯誤的風險，并能從數據中靈活地識別處理效應，同時緩解維數災難問題（參見 Florens, 2003；Florens 等, 2012；以及 Ai 和 Chen, 2003）。

盡管非參數與半參數方法有助于降低設定錯誤風險，但對非參數 IV 函數進行推斷的難度遠高于對標量參數的推斷。此外，估計得到的非參數回歸結果仍不如線性模型易于解釋，在線性模型中，其系數可直接視為各變量及處理項的平均邊際效應。這在應用研究中尤為重要，因為研究人員通常需要以政策制定者和實務工作者能夠理解的形式匯報研究結果。聚焦于式（2）中的 AME 具有兩大優(yōu)勢：（i）它在解決模型設定錯誤問題的同時，提供了一個易于解釋的處理效應指標；（ii）它使得我們能夠對標量參數進行推斷，而非對復雜的非參數函數進行推斷。

本文通過為式（2）中的 AME 提出一種具備兩項顯著特征的推斷方法，對現有文獻做出了補充。首先，該方法僅依賴于單一的正則化參數。其次，該方法建立在機器學習與支持向量機（SVM）文獻中廣泛采用的框架之上，即再生核希爾伯特空間（RKHS）設定。

我們推斷方法的第二個顯著特征是，它建立在機器學習文獻中一個廣泛使用的框架之上，即再生核希爾伯特空間（RKHS）設定；參見，例如，Wainwright（2019，第12章）、Berlinet 和 Thomas-Agnan（2011）以及 Steinwart 和 Christmann（2008）。該框架中的工具與算法已在支持向量機（SVM）和分類方法中得到廣泛應用?；?RKHS 構建 AME 推斷方法的優(yōu)勢體現在兩個方面：首先，RKHS 工具能夠以可處理的方式解決復雜的計算問題。在我們的研究情境中，它們使我們能夠給出具有簡潔且易于計算表達式的 AME 估計量與檢驗統(tǒng)計量。其次，正如我們在模擬部分（見第 6 節(jié)）所示，該方法具有優(yōu)異的有限樣本表現。

我們證明了基于 RKHS 的 AME 估計量具有漸近正態(tài)性，但其極限分布的方差具有復雜的解析形式。因此，我們開發(fā)了一種依賴于貝葉斯 Bootstrap 的推斷程序，并確立了其有效性。我們的方法易于實現，并且我們提供了一個 R 軟件包，供實務工作者直接使用。除了操作簡便之外，我們在模擬中表明，該方法在小樣本和中等樣本設定下，能夠在原假設下實現良好的尺寸控制，并在備擇假設下展現出良好的檢驗功效。我們還通過三項基于 Angrist 和 Lavy（1999）、Frankel 和 Romer（1999）以及 Sokullu（2016）的實證應用展示了本方法的潛力，其樣本量分別為 2,024、150 和 117 個觀測值。這些應用揭示了我們的估計與推斷程序在真實數據（包括小樣本）上的良好表現。得益于其計算簡便性、對單一正則化參數的依賴以及在有限樣本中的優(yōu)異表現，我們的方法可被實務工作者便捷地采納。

相關文獻?；诩墧嫡归_的方法用于估計 AME 以及更一般的工具變量回歸泛函，已在 Ai 和 Chen（2003）、Ai 和 Chen（2007）以及 Santos（2011）中得到發(fā)展。在最近的一篇論文中，Chen 等（2023）研究了基于人工神經網絡的若干 AME 估計量的性質，并考察了其有限樣本表現。所有這些論文均基于多步回歸方法，且需要選取多個調優(yōu)參數（每一步回歸估計均需設定一個），這可能增加實際應用的復雜性。Breunig 和 Johannes（2016）研究了非參數工具變量模型中已知泛函的自適應估計，但并未對其推斷問題進行探討。Chen 和 Christensen（2018）以及 Chen 等（2025）為非參數工具變量回歸中已知泛函的推斷提供了程序。我們的研究情境與他們不同：在我們的設定中，AME 是非參數工具變量回歸的一個未知泛函，因為它涉及 關于 Z 的未知分布的期望。Beyhum 等（2024b）與 Zhang 等（2023）提出了非參數工具變量模型的一步估計量，但并未研究針對 AME 的推斷問題。Singh 等（2019）與 Zhang 等（2023）也研究了非參數工具變量模型的 RKHS 估計方法。然而，他們既未考慮部分線性設定，也未針對 AME 開發(fā)推斷程序。

論文結構。第 2 節(jié)介紹我們的 AME 估計量并推導其表達式。第 3 節(jié)確立我們估計量的漸近性質。第 4 節(jié)提出 Bootstrap 檢驗并證明其有效性。第 5 節(jié)討論我們推斷程序的具體實施以及唯一正則化參數的選取方法。第 6 節(jié)通過模擬證據展示我們 Bootstrap 檢驗在小樣本下的表現，證明其具有優(yōu)異的有限樣本性質。第 7 節(jié)包含三項我們方法的實證應用。最后，第 8 節(jié)總結全文。附錄匯集了本文結果的數學證明、輔助引理以及額外的模擬內容。用于實現我們推斷程序的 R 軟件包可從以下網址下載：https://github.com/lucasgirardh/rkhsiv。

2 估計量

2.1 估計設定

2.2 估計量的計算

根據 Steinwart 和 Christmann（2008，定理 4.20 與 4.21），每個對稱半正定核都對應唯一的 RKHS，且每個 RKHS 都有唯一的再生核。為清晰起見，我們提供兩個 RKHS 的示例。更多示例參見 Wainwright（2019，第 12 章）、Berlinet 和 Thomas-Agnan（2011）以及 Steinwart 和 Christmann（2008）。

下列示例中的 RKHS 在統(tǒng)計學和機器學習文獻中非常流行。

3 漸近分析

5 Implementation

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2604.11393