結(jié)構(gòu)化余跨 STRUCTURED COSPANS

STRUCTURED COSPANS

結(jié)構(gòu)化余跨

https://arxiv.org/pdf/1911.04630

摘要

應(yīng)用范疇論的一個目標(biāo)是更好地理解出現(xiàn)在科學(xué)和工程各個領(lǐng)域的網(wǎng)絡(luò)。在這里，我們引入“結(jié)構(gòu)化余楔”（structured cospans）作為一種研究具有輸入和輸出的網(wǎng)絡(luò)的方法。給定一個函子 L : A → X ，一個結(jié)構(gòu)化余楔是 X 中形式為 L ( a ) → x ← L ( b )的圖表。如果 A 和 X 具有有限余極限且 L 是左伴隨，我們就得到一個對稱幺半范疇，其對象是 A 的對象，其態(tài)射是結(jié)構(gòu)化余楔的同構(gòu)類。這是一個超圖范疇。然而，它源于一個更基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)：一個對稱幺半雙范疇，其中水平 1-胞腔是結(jié)構(gòu)化余楔。我們展示了結(jié)構(gòu)化余楔如何解決密切相關(guān)的“裝飾余楔”（decorated cospans）形式體系中的某些問題，并解釋了它們在一些例子中是如何工作的：電路、佩特里網(wǎng)和化學(xué)反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)。

1. 引言

結(jié)構(gòu)化余楔是一個處理開放網(wǎng)絡(luò)的框架：即具有輸入和輸出的網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)在科學(xué)和工程的許多領(lǐng)域，并且種類繁多，但一篇姊妹篇論文以開放佩特里網(wǎng)為例闡述了這里發(fā)展的一般框架 [5]，所以讓我們考慮那些。

佩特里網(wǎng)在計(jì)算機(jī)科學(xué)、化學(xué)和其他學(xué)科中很重要。例如，消耗兩個氫原子和一個氧原子并產(chǎn)生一個水分子的化學(xué)反應(yīng)可以由這個非常簡單的佩特里網(wǎng)表示：

這里我們有一組用黃色繪制的“庫所”（或在化學(xué)中稱為“物種”）和一組用藍(lán)色繪制的“變遷”（或“反應(yīng)”）。這兩個集合的不交并構(gòu)成了有向二分圖的頂點(diǎn)集，這是佩特里網(wǎng)的一種描述方式。

網(wǎng)絡(luò)通常可以被視為更大網(wǎng)絡(luò)的片段。這自然引出了“開放佩特里網(wǎng)”的概念，意味著庫所集合配備了“輸入”和“輸出”。我們可以通過規(guī)定兩個映射到庫所集合的函數(shù)來實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，這兩個函數(shù)負(fù)責(zé)選出這些輸入和輸出。

對象 a 和 b 分別被稱為 輸入 和 輸出 ，而 x 被稱為 頂點(diǎn) 。態(tài)射 i 和 o 被稱為該余楔的 腿 。

2. 結(jié)構(gòu)化余楔

給定一個函子 L : A → X ，一個結(jié)構(gòu)化余楔是 X 中的一個余楔，其足部來自 A 中的一對對象：

1. 結(jié)構(gòu)化余跨的對稱幺半雙重范疇

然而，檢查所有必要的圖表是否交換有點(diǎn)令人煩惱，尤其是因?yàn)槿藗兏杏X背后一定有一個簡單的根本原因。所以，我們決定給出一個更具概念性的證明。雖然這可能更難消化（理解），但這給了我們更多——至少當(dāng) F F 保持有限余極限時(shí)。在這種情況下，我們可以做的不僅僅是取結(jié)構(gòu)化余跨（structured cospans）的二元余積：我們可以取它們的有限余極限！這意味著我們可以用比僅僅首尾相接或并排擺放更有趣的方式將結(jié)構(gòu)化余跨粘合在一起。因此，我們將定理 3.9 作為一個更強(qiáng)結(jié)果——定理 3.7 的推論來證明，后者囊括了我們?nèi)〗Y(jié)構(gòu)化余跨有限余極限的所有方式。

我們需要的關(guān)鍵概念是 2-范疇中的“弱范疇”（weak category）或“偽范疇”（pseudocategory）[26]。這是雙范疇概念的一個輕微推廣。

3.1. 定義. 給定一個 2-范疇 C ， C 中的一個弱范疇 D 由以下部分組成：

在這個定義中，我們假設(shè)必要的拉回（pullbacks）存在；如果 C 擁有拉回，這是自動滿足的。

查閱附錄 A，讀者可以驗(yàn)證 C a t 中的弱范疇（weak category）等同于雙范疇（double category）。我們在以下的 2-范疇中同樣需要弱范疇：

3.2. 定義. 設(shè) R e x 為具有以下構(gòu)成的 2-范疇：

• 以帶有選定有限余極限（finite colimits）的范疇作為對象，
• 以右正合函子（right exact functors）作為態(tài)射，
• 以自然變換作為 2-態(tài)射。

3.3. 定義. 設(shè) S y m M o n C a t為具有以下構(gòu)成的 2-范疇：

• 以對稱幺半范疇（symmetric monoidal categories）作為對象，
• 以（強(qiáng)）對稱幺半函子（(strong) symmetric monoidal functors）作為態(tài)射，
• 以幺半自然變換（monoidal natural transformations）作為 2-態(tài)射。

單詞'rex'是'right exact'的縮寫，這是'preserving finite colimits'（保持有限余極限）的另一種說法。注意，一個右正合函子不必保持給定的有限余極限的選擇。因此，我們的2-范疇 Rex 2-等價(jià)于一個沒有對有限余極限做出選擇的2-范疇。做出這些選擇的一個原因是它們給了我們一個明確定義的2-函子

Φ: Rex → SymMonCat

具體如下。給定一個對象 C ∈ Rex，Φ(C) 是對稱幺半范疇 (C, +, 0)，其中 + 是選定的二元余積，0 是選定的始對象。范疇 C, C' ∈ Rex 之間的每個右正合函子 F: C → C' 然后以典范方式成為對稱幺半的，并且右正合函子之間的每個自然變換都成為幺半的。

最后，從這個 SymMonCat 中的弱范疇，我們希望得到一個對稱幺半雙范疇。這里我們需要'對稱偽幺半群'（symmetric pseudomonoid）[36] 的概念。為了理解下面的定義，讀者應(yīng)該記住這樣一個例子：B 是使用笛卡爾積做成的對稱幺半雙范疇 Cat。那么 B 中的一個偽幺半群就是一個幺半范疇，一個辮偽幺半群就是一個辮幺半范疇，而一個對稱偽幺半群就是一個對稱幺半范疇。

3.4. 定義. 幺半雙范疇 B 中的一個偽幺半群（pseudomonoid）是一個對象 M ∈ B，配備了稱為乘法（multiplication）的1-態(tài)射 m: M ? M → M 和單位（unit）i: I → M，它們滿足結(jié)合律以及左右單位律，這些律在稱為結(jié)合子（associator）和左右單位子（unitors）的2-同構(gòu)的意義下成立，而這些2-同構(gòu)反過來滿足五邊形恒等式和三角形恒等式。

3.5. 定義. 辮幺半雙范疇 B 中的一個偽幺半群 M 是辮的（braided），如果它配備了一個2-同構(gòu)

b: m ° β ? m

其中 β: M ? M → M ? M 是 B 中的辮結(jié)構(gòu)，并且 b 滿足六邊形恒等式 [24]。

對超圖范疇（hypergraph categories）感興趣的讀者可能會很高興地了解到，結(jié)構(gòu)化余跨范疇（structured cospan categories）往往屬于這一類型。“超圖范疇”是一種對稱幺半范疇，其中每個對象都具有特殊交換 Frobenius 幺半群（special commutative Frobenius monoid）的結(jié)構(gòu)，且這種方式與張量積相容，但不一定被態(tài)射保持 [13]。此類范疇在網(wǎng)絡(luò)理論中無處不在，其中 Frobenius 結(jié)構(gòu)允許我們在弦圖（string diagrams）中分割、連接、起始和終止字符串 [14]。雖然超圖范疇的定義起初看起來有些笨拙，但 Fong 和 Spivak 已經(jīng)利用運(yùn)算子（operads）闡明了這一概念 [17]。

4. 結(jié)構(gòu)化余跨雙重范疇之間的映射

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