數(shù)學(xué)里存在不可能被證明的問題嗎？

現(xiàn)在讓我為您奔走，我會(huì)努力做到不可能之事。

——威廉·莎士比亞，《凱撒大帝》，里加律斯對(duì)布魯塔斯所說(shuō)

來(lái)源 | 《不可能的幾何挑戰(zhàn)：數(shù)學(xué)求索兩千年》

作者：[美] 大衛(wèi)?S. 里奇森（David S. Richeson）

作者 | 姜喆

韋氏詞典對(duì)“不可能”的定義是“無(wú)法存在或出現(xiàn)”，但我們并不總是這么用這個(gè)詞。

我們經(jīng)常用“不可能”（impossible）來(lái)代替“不大可能”（improbable）。我們用它來(lái)描述有些盡管并非完全不可能，但還是很難做到的事。如果我們把一個(gè)打亂了的魔方給一個(gè)新手，他沒辦法把它復(fù)原，因?yàn)楸澈蟮倪壿嬕筇珡?fù)雜了，在沒有人幫助的情況下，魔方很難復(fù)原。亂擰一氣復(fù)原魔方的概率更是低之又低。

這時(shí)，我們就會(huì)說(shuō)他不可能復(fù)原魔方。同樣，對(duì)于一個(gè)沒什么經(jīng)驗(yàn)的保齡球選手來(lái)說(shuō)，他幾乎不可能打出 300 分的完美比賽 。一只猴子也幾乎不可能用鍵盤敲出莎士比亞全集。

這種“大海撈針”式的情景并非真的不可能，而是因?yàn)楦怕侍停秃孟裾娴牟豢赡芤粯印＃ㄎ覀冃枰赋觯承┐祟悎?chǎng)景對(duì)于任何個(gè)人來(lái)說(shuō)都是沒有希望的，卻很可能在某個(gè)人身上發(fā)生，比如中彩票。）

有些事在實(shí)際上不可能，例如用手寫出 的前 位數(shù)字。有很多因素限制了我們這樣做：人類的壽命沒有長(zhǎng)到能寫出這么多數(shù)字，而且我們還不知道 的這么多位數(shù)字。即便我們知道，宇宙中也沒有足夠的墨水和紙讓我們把它寫出來(lái)。這是不可能的。

有些事被認(rèn)為在物理上不可能。如果某些想法或者行動(dòng)是可能的，那么它們就會(huì)違背我們對(duì)世界的認(rèn)知。它們有悖于我們相信的物理定律。永動(dòng)機(jī)就是個(gè)最好的例子。存在一個(gè)無(wú)須外部能量就能永遠(yuǎn)工作的機(jī)器聽起來(lái)過于荒唐，它違背了包括能量守恒定律在內(nèi)的多個(gè)物理定律。

當(dāng)然，在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，我們對(duì)于物理或者生物領(lǐng)域的認(rèn)知都是錯(cuò)誤的。在 4 分鐘內(nèi)跑完 1 英里曾被認(rèn)為是不可能的，但是羅杰·班尼斯特在 1954 年顛覆了我們的認(rèn)知。載人飛行曾經(jīng)也被認(rèn)為是天方夜譚，但是萊特兄弟證明了這并非幻想。

當(dāng)化學(xué)家們發(fā)現(xiàn)鉛和金是兩種不同的元素時(shí)，能點(diǎn)石成金的賢者之石或煉金術(shù)也就成了無(wú)稽之談。但是，粒子加速器的誕生，讓煉金術(shù)士們的夢(mèng)想也變得可能，盡管并不實(shí)際。

時(shí)至今日，因?yàn)闊o(wú)法在現(xiàn)有科學(xué)框架中實(shí)現(xiàn)，有些事情還被認(rèn)為不可能。在 18 世紀(jì)后半葉，學(xué)者們認(rèn)為石頭不可能從天而降；他們認(rèn)為除了月亮，不存在其他的小型天體。他們把隕石（“雷電石”）的目擊報(bào)告當(dāng)作民間傳說(shuō)。在 1768 年，包括年輕的拉瓦錫在內(nèi)的一個(gè)三人團(tuán)隊(duì)用現(xiàn)代化學(xué)手段研究了一塊隕石。他們的結(jié)論是，它是一束閃電擊中富含黃鐵礦的砂石的產(chǎn)物。

1807 年，美國(guó)耶魯大學(xué)的兩位教授發(fā)表了一篇論文，論述了一塊落在康涅狄格州韋斯頓鎮(zhèn)的隕石。出于懷疑，（受過科學(xué)教育的）時(shí)任總統(tǒng)托馬斯·杰斐遜聲稱：“他們可能是正確的，但對(duì)于我來(lái)說(shuō)，比起石頭從天而降，還是兩位洋基教授撒謊更有可能。”這則逸聞廣為流傳，不過未必真實(shí)，至少存在添油加醋的可能。不過它的確反映了當(dāng)時(shí)人們的看法。

有些事情被認(rèn)為不可能，則是因?yàn)槿藗儾粔騽?chuàng)新或是過于短視，想象不到它們?nèi)绾纬烧妗Ｈ绻覀兿?19 世紀(jì)的人描述現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)技術(shù)，他們一定會(huì)說(shuō)，這樣的機(jī)器是不可能存在的。在 20 世紀(jì) 50 年代時(shí)，簡(jiǎn)單（以今天的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看）的計(jì)算機(jī)也要占據(jù)整個(gè)房間。如果我們對(duì) 50 年代的人說(shuō)，現(xiàn)如今我們把更強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)放在口袋中或者手腕上，他們肯定會(huì)懷疑地?fù)u頭，說(shuō)這不可能。

01

數(shù)學(xué)上不可能

某事在數(shù)學(xué)上不可能是指什么呢？我們又如何證明它不可能呢？

讓我們來(lái)看看不可能性定理的一個(gè)簡(jiǎn)單例子。這個(gè)例子是有關(guān)偶數(shù)的，比如 0、8、- 102 等。我們都知道偶數(shù)是什么，但為了在數(shù)學(xué)中運(yùn)用偶數(shù)，我們必須清楚明白地定義它們：如果存在整數(shù) ，使得 ，則 是偶數(shù)。因?yàn)?0 = 2·0，8 = 2·4，-102 = 2(-51)，所以它們都是偶數(shù)。

我們可以用這個(gè)定義和整數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明一個(gè)我們都知道的定理：兩個(gè)偶數(shù)的和不可能為奇數(shù)。證明如下：設(shè) 和是偶數(shù)，則存在整數(shù)和，使得，。那么。因?yàn)檎麛?shù)的和還是整數(shù)，所以是整數(shù)。因此是偶數(shù)。一個(gè)整數(shù)不可能既是偶數(shù)又是奇數(shù)，所以我們的不可能性定理得證。

我們從這個(gè)例子中能學(xué)到幾件事。正如存在無(wú)窮多偶數(shù)一樣，用尺規(guī)可以作無(wú)窮多的圖形。我們不必檢查所有可能的和來(lái)證明上述定理，只需要整數(shù)和偶數(shù)的一般性質(zhì)來(lái)證明它。同樣，可以用直線和圓的一般性質(zhì)來(lái)證明我們的不可能性定理。

此外，如果我們只有偶數(shù)，那么它們的和也總是偶數(shù)。無(wú)論用什么順序，加了多少個(gè)偶數(shù)，我們永遠(yuǎn)也不會(huì)“離開”偶數(shù)的集合并得到一個(gè)奇數(shù)。我們的和不會(huì)是 257 或者 1301，這不可能。我們將會(huì)看到，這和第 1 章提到的可作圖數(shù)的集合類似；如果對(duì)可作圖數(shù)進(jìn)行特定的算術(shù)運(yùn)算，我們只會(huì)得到其他可作圖數(shù)。

偶數(shù)相加的例子可能看起來(lái)太簡(jiǎn)單了（盡管并非如此），并且可能有點(diǎn)兒牽強(qiáng)。因此，我們現(xiàn)在要來(lái)看一個(gè)更有趣一點(diǎn)兒的不可能性的例子。這次，我們的證明還是關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)的集合的。

02

薩姆·勞埃德的無(wú)解之謎

1880 年，就像一個(gè)世紀(jì)之后的魔方那樣，一個(gè)機(jī)械智力游戲風(fēng)靡美國(guó)。這個(gè)機(jī)械游戲就是 15 - 數(shù)字推盤游戲。時(shí)至今日，我們?nèi)阅苷业剿纳碛啊Ｓ螒虻哪繕?biāo)是通過在一個(gè) 4×4 的板中上下左右滑動(dòng) 15 個(gè)有編號(hào)的方塊，來(lái)讓它們按編號(hào)順序排列好。

那個(gè)時(shí)候，著名的美國(guó)智力游戲設(shè)計(jì)師薩姆·勞埃德懸賞 1000 美元（約合現(xiàn)在的 25 000 美元）求解他的15 - 數(shù)字推盤游戲。勞埃德的游戲和一般游戲相差無(wú)幾，但它的初始方塊配置很特別：方塊按數(shù)字順序排列，但是 14 和 15 是反過來(lái)的（圖 2.1）。

圖 2.1　薩姆·勞埃德的 15- 數(shù)字推盤游戲（圖文：謎題大陸的 14-15 謎題）（S. Loyd, 1914,《薩姆·勞埃德的智力游戲百科》，紐約：Lamb 出版社）

勞埃德可不是亂花錢的人。他知道自己永遠(yuǎn)不用付錢，因?yàn)樵?1879 年，兩名數(shù)學(xué)家證明了這樣的初始配置是不可解的。讓我們來(lái)看看為什么。

要解決 15 - 數(shù)字推盤游戲，我們必須把編號(hào)按從左到右、從上到下的順序用線連起來(lái)。從結(jié)果來(lái)說(shuō)，為了讓證明更簡(jiǎn)單，我們需要改變勝利條件：方塊的編號(hào)需要按蛇形排列——第一行從左到右，第二行從右到左，第三行從左到右，第四行從右到左。不過我們不會(huì)改變游戲規(guī)則。相對(duì)地，可以想象成我們把新的編號(hào)貼到了方塊上——把 8 貼到 5 上，把 7 貼到 6 上，以此類推（圖 2.2）。

圖 2.2　重新編號(hào)的 15- 數(shù)字推盤游戲

假設(shè)我們拿到了一個(gè)打亂順序的 15 - 數(shù)字推盤游戲，如圖 2.3 所示。我們把編號(hào)拿出來(lái)，然后按蛇形順序列出，并且跳過空格。在這個(gè)例子中，這個(gè)列表是 2、13、5、1、4、12、11、10、3、14、15、6、9、7、8。對(duì)于表中的每個(gè)數(shù)字，我們都記錄它右邊的數(shù)中有多少個(gè)比它小。2 的右邊只有 1 個(gè)比它小的數(shù)，13 的右邊有 11 個(gè)數(shù)比它小，以此類推。然后我們把這些數(shù)加起來(lái)，得到的和是 44。也就是說(shuō)，一共有 44 對(duì)方塊按錯(cuò)誤的順序排列了，這也被叫作逆序?qū)?/strong>。最終的答案中應(yīng)該沒有逆序?qū)Α１?2.1 列出了我們的例子中的逆序?qū)Α?/p>

圖 2.3　一個(gè)打亂順序的 15- 數(shù)字推盤游戲

表 2.1　我們的 15- 數(shù)字推盤游戲中的逆序?qū)?/strong>

現(xiàn)在我們把一個(gè)方塊推入空格，然后看看逆序?qū)τ惺裁醋兓Ｈ绻岩粋€(gè)方塊向左或者向右推入空格，比如例子中的 14 或者 15，那么序列沒有改變，因此逆序?qū)Φ臄?shù)量也不變。如果我們?cè)谏咝闻帕袚Q行的地方把一個(gè)方塊上移或者下移，序列也不會(huì)改變。

如果我們?cè)谄渌胤缴弦苹蛘呦乱品綁K，逆序?qū)Φ臄?shù)量就會(huì)改變了。但是這不會(huì)影響所有的方塊，這樣的一步只會(huì)影響到 3 個(gè)、5 個(gè)或者 7 個(gè)方塊。這取決于空格的位置，以及究竟是哪個(gè)方塊被推進(jìn)了空格。只有這幾個(gè)方塊的逆序?qū)?huì)被影響。

如果我們下移 12，它就被挪到了 14 和 15 之間。所以它只會(huì)影響 12、11、10、3 和 14。注意，12 比 11、10 還有 3 都大，但是小于 14。所以，當(dāng)它被移走之后，它的逆序?qū)?shù)量減少了 3，但 14 的逆序?qū)?shù)量增加了 1。

這樣，總逆序?qū)?shù)量就減少了 2，變成了 42。同樣，如果我們把 9 上移，序列會(huì)從 15、6、9 變成 9、15、6。因?yàn)?9 比 6 大，比 15 小，它的逆序?qū)?shù)量會(huì)增加 1，15 的逆序?qū)?shù)量會(huì)減少 1。因此，總的逆序?qū)?shù)量保持不變，如表 2.2 所示。

表 2.2　移動(dòng)方塊 12 和方塊 9 之后的逆序?qū)η闆r

通常，垂直移動(dòng)會(huì)影響
個(gè)方塊，其中可能是 2、4 或者 6。我們移動(dòng)的方塊比剩下的個(gè)方塊中的個(gè)小，比個(gè)大。如果我們下移方塊，總的逆序?qū)?shù)量變化就是；如果我們上移方塊，這個(gè)變化就是。這個(gè)變化量無(wú)關(guān)緊要，重要的是這些數(shù)都是偶數(shù)。

所以，每次移動(dòng)之后，逆序?qū)倲?shù)的奇偶性保持不變——原來(lái)是奇數(shù)的還會(huì)是奇數(shù)，原來(lái)是偶數(shù)的也還會(huì)是偶數(shù)。如果初始配置有偶數(shù)個(gè)逆序?qū)Γ敲催@個(gè)和在游戲中一直都會(huì)是偶數(shù)。我們不可能通過移動(dòng)方塊來(lái)讓這個(gè)和變成奇數(shù)。同樣，如果和開始是奇數(shù)，那么它也一直都會(huì)是奇數(shù)。

我們?cè)賮?lái)考察勞埃德謎題。他把 14 和 15 調(diào)換了順序。在我們重新編號(hào)的例子中，調(diào)換了順序的方塊是 13 和 14。正如我們?cè)诒?2.3 中看到的，勞埃德謎題中逆序?qū)?shù)量是 1，而 1 是個(gè)奇數(shù)。但游戲目標(biāo)是讓方塊按數(shù)字順序排列，目標(biāo)排列的逆序?qū)?shù)量是 0，而 0 是個(gè)偶數(shù)。因?yàn)橛螒蛑心嫘驅(qū)?shù)量的奇偶性不變，所以我們不可能解開勞埃德謎題并拿走 1000 美元！

表 2.3　勞埃德謎題中逆序?qū)Φ臄?shù)量和目標(biāo)排列中逆序?qū)?shù)量的奇偶性不同

03

基本法則的重要性

規(guī)則決定一切。如果沒有規(guī)則，那么不可能也會(huì)變成可能。看看德·摩根和達(dá)德利遇到的化圓為方者和三等分角者就知道了！在數(shù)學(xué)中，公理和定義就是基本法則。它們包括在具體問題或者定理陳述中用到的假設(shè)，也包括那些使我們得以構(gòu)建堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)證明的邏輯規(guī)則。如果我們忽略或者改變它們，就有可能完成先前被認(rèn)為不可能的任務(wù)。

如果在我們的偶數(shù)例子中可以使用除法，就能從偶數(shù)獲得奇數(shù)（14÷2=7 是一個(gè)奇數(shù)）。這樣，不可能也成了可能。類似地，在給定規(guī)則下，勞埃德的 15 - 數(shù)字推盤游戲是無(wú)解的。但如果我們能把方塊拿出來(lái)，然后重新組裝，那它就是可解的。

許多小孩子（和他們的家長(zhǎng)）都曾用這種方法“復(fù)原”過魔方。數(shù)學(xué)中也存在這種類型的例子。歐幾里得證明了三角形內(nèi)角和是 180°。因此，不可能作一個(gè)內(nèi)角和是其他數(shù)值的三角形。但是在 19 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們意識(shí)到，如果可以修改規(guī)則并且改變歐幾里得的公設(shè)，他們就能創(chuàng)造出全新的、自洽的非歐幾何體系。

這些幾何體系具有奇怪的表現(xiàn)。例如，三角形內(nèi)角和可能不是 180°。在圖 2.4 左圖中，我們會(huì)看到球面上的一個(gè)三角形（三邊均為大圓上的弧）。這個(gè)三角形的三個(gè)角均為 90°，所以它的內(nèi)角和是 270°，比 180°要大。在右圖中，我們會(huì)看到一個(gè)馬鞍形曲面上的三角形。這個(gè)三角形的內(nèi)角和小于 180°。因此，如果改變規(guī)則，我們就能化不可能為可能。

圖 2.4　三角形內(nèi)角和有可能大于（左）或小于（右）180°

這本書中的很多地方都將討論，如果我們能改變規(guī)則會(huì)怎樣——可能是使用額外的工具，也可能是舍棄一些工具，又或者是做一些完全不同的事情。然后我們將探究改變規(guī)則后又可以作什么圖，尤其是，要解決古典問題需要做什么。

最后是一個(gè)警告：我們不能過分自信。我們確實(shí)可以肯定地說(shuō)某事在數(shù)學(xué)上不可能，但是不能錯(cuò)誤地認(rèn)為這樣的論證也適用于生活中的其他地方。1903 年 10 月 22 日，在萊特兄弟于北卡羅來(lái)納州小鷹鎮(zhèn)成功飛行還不到兩個(gè)月前，約翰霍普金斯大學(xué)的數(shù)學(xué)教授西蒙·紐康（1835—1909）寫了如下文字：

今天的數(shù)學(xué)家承認(rèn)他們無(wú)法化圓為方、倍立方或者三等分角。類似地，我們的機(jī)械師們，會(huì)不會(huì)也最終被迫承認(rèn)，在空中飛行也是人類永遠(yuǎn)無(wú)法解決的那一大類問題之一，并且不再嘗試解決它？

04

閑話　九個(gè)不可能性定理

只要樂于鉆研，精于實(shí)踐，我們立刻就能克服困難，只要再多一點(diǎn)時(shí)間，就能超越認(rèn)知。 ——美國(guó)阿靈頓國(guó)家公墓外海蜂（美國(guó)海軍工兵營(yíng)）紀(jì)念碑碑文

數(shù)學(xué)中一些最偉大的定理就是關(guān)于不可能性的定理。這里我們將介紹其中最著名的九個(gè)定理。

（1） 是無(wú)理數(shù)。傳說(shuō)，梅塔龐托的希伯斯（活躍于公元前 5 世紀(jì)）是畢達(dá)哥拉斯（約公元前 570—約公元前 495）的一個(gè)追隨者。他因?yàn)樽C明正方形的邊和對(duì)角線不可公度而讓他的同僚震怒。用今天的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)就是，他證明了 是無(wú)理數(shù)。也就是說(shuō)，我們無(wú)法找到整數(shù) 和 ，使得 。我們會(huì)在第 4 章深入討論這一發(fā)現(xiàn)。

（2）費(fèi)馬大定理。1637 年，皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601 或 1607— 1665）在他的一本書的空白處寫下了這句著名的話：“不可能把一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)，或是把一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪。更一般地，不可能把一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次冪。關(guān)于此，我發(fā)現(xiàn)了一種美妙證法，但這里空白太小，沒法寫下。”換句話說(shuō)，如果 是一個(gè)整數(shù)，那么 沒有正整數(shù)解。這個(gè)結(jié)論被稱為費(fèi)馬大定理。超過三個(gè)半世紀(jì)以來(lái)，人們都無(wú)法證明它。直到 1994 年，秘密研究了 7 年的安德魯·懷爾斯才終于證明了費(fèi)馬大定理。

（3）哥尼斯堡七橋問題。18 世紀(jì)中葉，普魯士城市哥尼斯堡有七座跨越普列戈利亞河的橋（圖 T.3）。當(dāng)?shù)鼐用裨陂e暇時(shí)，就會(huì)尋找一條走過每座橋剛好一次，并最終回到起點(diǎn)的散步路線。這一游戲被萊昂哈德·歐拉（1707—1783）得知，他在 1735 年證明了不存在這樣一條路線。歐拉的方法如今被認(rèn)為是圖論領(lǐng)域的開端。

圖 T.3　不能同時(shí)經(jīng)過哥尼斯堡的七座橋的路線

（4）五次方程無(wú)根式解。二次方程的求根公式算得上是高中代數(shù)課內(nèi)容的巔峰了。它為求方程 的兩個(gè)根提供了一種簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。公式如下：

盡管復(fù)雜得多，三次方程和四次方程的根也有類似的表達(dá)方式。但是，五次或更高次方程的根無(wú)法用這樣的公式來(lái)計(jì)算。特別是，多項(xiàng)式 有一個(gè)實(shí)數(shù)根，大約是 - 1.673 04，但我們無(wú)法用整數(shù)、四則運(yùn)算以及開方來(lái)表達(dá)這個(gè)數(shù)。尼爾斯·阿貝爾（1802—1829）在 1824 年給出了這個(gè)不可能性定理的第一個(gè)完整證明。

（5）連續(xù)統(tǒng) 不可數(shù)。我們有十根手指。我們知道這一點(diǎn)，因?yàn)槭种负图?{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 中的元素可以一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。小孩子就是這樣數(shù)手指的。格奧爾格·康托爾（1845—1918）推廣了這一概念——用來(lái)數(shù)無(wú)窮集。如果一個(gè)集合能和正整數(shù)集 {1, 2, 3,…} 一一對(duì)應(yīng)，那么我們稱該集合可數(shù)無(wú)窮。整數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)都是可數(shù)無(wú)窮集。最令人驚訝的是，有理數(shù)也是可數(shù)無(wú)窮的。但是康托爾證明了不是所有無(wú)窮集都是可數(shù)的，更大的、不可數(shù)的無(wú)窮是存在的。他證明了正整數(shù)和實(shí)數(shù)之間不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這一發(fā)現(xiàn)震驚了數(shù)學(xué)界。如今它被認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上最重要的成果之一。它也是下面第 6 和第 9 個(gè)定理的核心所在。

（6）停機(jī)問題。任何寫過簡(jiǎn)單計(jì)算機(jī)程序的人都知道，存在無(wú)限循環(huán)無(wú)法停止的程序。它可能只是個(gè)重復(fù)打印簡(jiǎn)單文字（“Hello world! Hello world! Hello world!...”）的程序，也可能是程序中的一個(gè)難以察覺的漏洞。當(dāng)用戶輸入預(yù)想之外的內(nèi)容時(shí)，這個(gè)漏洞就會(huì)導(dǎo)致程序進(jìn)入無(wú)限循環(huán)。要是有個(gè)計(jì)算機(jī)程序能判斷另一個(gè)計(jì)算機(jī)程序?qū)τ谔囟ㄝ斎霑?huì)不會(huì)無(wú)限循環(huán)不是挺好的嗎？不幸的是，這樣的程序并不存在。1936 年，艾倫·圖靈（1912—1954）證明了這個(gè)不可能性定理。該問題現(xiàn)在被稱作停機(jī)問題。

（7）阿羅不可能性定理。有很多著名的選舉被“第三方攪局者”影響。假設(shè)候選人 和一對(duì)一角逐的話，會(huì)獲勝，甚至可能大勝。但如果與有著類似政見的候選人參加選舉，某些本來(lái)會(huì)投的人就會(huì)投，那么這反而會(huì)讓贏得選舉。所以不是因?yàn)楦軞g迎而勝選，而是因?yàn)槎鄶?shù)投票沒辦法很好地適用于有三名候選人的情況。我們也有其他的投票機(jī)制，比如同意投票或者排序復(fù)選制等。每種投票機(jī)制都有其利弊。沒有一種投票機(jī)制是完美的。1950 年，經(jīng)濟(jì)學(xué)家肯尼斯·阿羅（1921—2017）研究了排序投票制。在排序投票中，每位投票人對(duì)于候選人都有一個(gè)喜好排序。系統(tǒng)最后會(huì)得出一個(gè)總的候選人排名。阿羅給出了幾個(gè)公平的投票機(jī)制應(yīng)該具有的常識(shí)性的標(biāo)準(zhǔn)。他隨后證明了不存在滿足所有標(biāo)準(zhǔn)的完美投票機(jī)制。

（8）平行公設(shè)。歐幾里得用一些定義、五條公理和五條公設(shè)證明了《幾何原本》中的全部定理。第五公設(shè)現(xiàn)在被稱作平行公設(shè)，它聽上去有些拗口，有些難以理解。約翰·普萊費(fèi)爾（1748—1819）給出了下面這個(gè)更直觀的等價(jià)版本：

“經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線。”

數(shù)百年間，數(shù)學(xué)家們?cè)J(rèn)為平行公設(shè)是多余的，并且可以用其他四條公設(shè)推導(dǎo)出來(lái)。我們現(xiàn)在知道這是不可能的。在 19 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了滿足前四條公設(shè)，卻不滿足第五公設(shè)的非歐幾何。在非歐幾何中，普萊費(fèi)爾公理并不成立。同理，第五公設(shè)也不成立。在馬鞍形上，給定直線和直線外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條經(jīng)過這點(diǎn)的直線與已知直線不相交。在球面上，所有的線（大圓）都相交，所以經(jīng)過一點(diǎn)不存在任何與已知直線毫無(wú)交點(diǎn)的直線。因?yàn)榉菤W幾何的存在，我們知道了不可能用前四條公設(shè)推導(dǎo)第五公設(shè)。

（9）哥德爾不完備定理。最后一個(gè)不可能性定理精巧、深刻，又震撼人心：無(wú)法證明的定理是存在的，即便它們是真正的數(shù)學(xué)表述。數(shù)學(xué)家們很熟悉那些看上去無(wú)法證明的猜想，例如孿生素?cái)?shù)猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想。樂觀的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為它們最終都會(huì)得證。但即便它們永遠(yuǎn)不會(huì)得證，那就意味著我們不可能證明它們嗎？或許吧。有可能它們可以被證明，只是數(shù)學(xué)家們還不夠有創(chuàng)新性，沒能發(fā)現(xiàn)證明。但它們也有可能是正確的，并且是無(wú)法證明的。在 19 世紀(jì)和 20 世紀(jì)之交，數(shù)學(xué)家們致力于為數(shù)學(xué)構(gòu)建一個(gè)堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)——一組能推導(dǎo)出所有數(shù)學(xué)的定義和公理。這夢(mèng)想是如此宏大，最終卻又化作泡影。1931 年，庫(kù)爾特·哥德爾（1906—1978）證明了不完備定理。第一不完備定理指出，在任何足夠復(fù)雜的公理體系中，都存在不能被證明的真命題。在某種意義上，這是最極致的不可能性的證明！

《不可能的幾何挑戰(zhàn)：數(shù)學(xué)求索兩千年》

作者：大衛(wèi)?S. 里奇森

譯者：姜喆

數(shù)學(xué)歷史新角度，作者旁征博引，發(fā)掘了之前數(shù)學(xué)書未曾留意的歷史細(xì)節(jié)。

本書以數(shù)學(xué)史上四大著名的“古典問題”——化圓為方、倍立方、作正多邊形、三等分角為基礎(chǔ)，展現(xiàn)了兩千多年來(lái)，數(shù)學(xué)家們?yōu)榻鉀Q這些問題而留下的令人拍案叫絕的思想與成就。