圓周率能算盡嗎？普朗克長度表明不能無限分割，圓周長是如此嗎？

這個問題很有意思，先說第一個問題的答案：圓周率是算不盡的，并且與幾進制無關(guān)。

圓周率的來歷及特征介紹

圓周率π在數(shù)學(xué)上叫無限不循環(huán)小數(shù)，又叫無理數(shù)，這樣的數(shù)有無限個，像我們熟悉的√2、√3、√5等等都是無理數(shù)，它們的位數(shù)都是無限的。最初是因為圓使我們認(rèn)識了π，π是圓周長與直徑的比值，這個比值是個除不盡的常數(shù)。
人們?yōu)榱说玫骄_的數(shù)值，用不同的方法進行計算，最早在古代人們用割圓術(shù)，即作圓的內(nèi)接多邊形和外接多邊形，然后一直把邊數(shù)翻倍，使得邊周長不斷逼近圓周長，以此求得的圓周率的上下限無限接近圓周率的精確值。不要把π看的太神秘，每個無理數(shù)的背后都對應(yīng)著某些幾何圖形，比如說正方形的對角線的長度就是其邊長的√2倍，如果取邊長為1，那對角線的長度就為√2。再比如說60度直角三角形中，60度對的直角邊與另一個直角邊的比值就為√3，等等。這是因為無理數(shù)和有理數(shù)一樣，是非常普遍的。圓周率π唯一特殊的地方就是它還是一個超越數(shù)。所謂超越數(shù)就是π不可能是任何整系數(shù)多項式的根。圓周率的超越性否定了“化圓為方”這古老尺規(guī)作圖問題的可能性，因所有尺規(guī)作圖法只能得出代數(shù)數(shù)，而得不出超越數(shù)。這就是我們將要回答的第二個問題涉及的問題。

關(guān)于第二個問題和數(shù)學(xué)上的一些特征

在答題區(qū)我發(fā)現(xiàn)好些人把第二個問題理解成周長是否像圓周率那樣也是無理數(shù)而算不盡的問題，實際上是理解錯了，題主的意思應(yīng)該是：因為圓周率是通過不斷割圓的周長來取得精確值的，但普朗克長度是最小的長度，不能再對它進行分割，那割圓術(shù)把圓周長如割到小于普朗克長度時是否也不能再割？

德國科學(xué)家普朗克――量子力學(xué)創(chuàng)始人之一

普朗克長度是在量子力學(xué)中認(rèn)為的物理現(xiàn)實中最小長度單位，其大小為1.616229（38）x10^-35米，量子力學(xué)認(rèn)為任何小于普朗克長度的距離都是沒有意義的。因此它們認(rèn)為物質(zhì)不能無限可分。不過無論物質(zhì)到底能不能無限可分，在數(shù)學(xué)上都是能夠無限分下去的。數(shù)學(xué)上無限的東西太多了，也允許無限的存在，比如說整數(shù)是無限的、自然數(shù)是無限的、小數(shù)是無限的、奇數(shù)是無限的等等等等，這么多的無限是因為數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實的抽象，所謂的點線面體不過是對現(xiàn)實事物的概念化，在數(shù)學(xué)中一個點可以無限小、一條線由無數(shù)個點組成，無數(shù)條線組成一個面、這個面無限薄，無限個面組成一個立體，但在現(xiàn)實中是不存在無限小的點、沒有厚度（無限薄）的面，因此數(shù)學(xué)和現(xiàn)實不是一回事兒。

第二個問題的解答

一，那圓的周長在現(xiàn)實中沒法分下去，這是因為：

1，割圓術(shù)在實踐上越來越難，幾何法時期早已過去。

自從古希臘的阿基米德開始，到我國公元263年的劉徽，用割圓術(shù)到了3072邊形，圓周率精確到小數(shù)點后三位，劉徽說“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”包含了求極限的思想。再到南北朝的祖沖之精確到小數(shù)點后7位，

最后直到1610年德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蛴嬎愕叫?shù)點后35位止，幾何法越來越難，用不著到普朗克長度，在實踐上也無法操作，每增加一倍邊數(shù)，計算量就是以前所有工作的兩倍。

2，普朗克長度的限制。

即使在實踐上能夠操作，但邊長長度真到了普朗克長度，如果真像量子力學(xué)認(rèn)為的，在實踐中沒有小于普朗克長度的東西，到了那時自然也就無法分下去。

3，超越數(shù)的特點

數(shù)學(xué)不但有無限，還有極限，像微積分就是極限的體現(xiàn)，什么化曲為直、化圓為方、曲直轉(zhuǎn)化、不變代變，什么積分是微分的無限積累，還有在割圓術(shù)中劉徽的極限思想，這些思想當(dāng)然都超越了普朗克長度的限制，但是圓周率π卻是個超越數(shù)，上面說過圓周率的超越性否定了“化圓為方”這古老尺規(guī)作圖問題的可能性，因所有尺規(guī)作圖法只能得出代數(shù)數(shù)，而得不出超越數(shù)。也就是說劉徽“化圓為方”的極限思想和他的尺規(guī)作圖方法是不適用于無限分割圓周長的。

二，π在數(shù)學(xué)上的分割或計算根本不理會普朗克長度

前面說過，數(shù)學(xué)是抽象化的，它才不管什么普朗克長度限制來。在分割圓求圓周率的問題上，十七世紀(jì)以后人們用分析法來求π，一般用無窮級數(shù)或無窮連乘積求π，梅欽（英國數(shù)學(xué)家梅欽1706年推出第一個公式）類公式，五花八門，但這種方法雖然擺脫割圓法的繁復(fù)計算，但仍屬人工計算，到1948年英國的弗格森和美國的倫奇共同發(fā)表了π小數(shù)點后808位小數(shù)值，這是人工計算的最高紀(jì)錄。

1949年計算機的出現(xiàn)使π值計算進入突飛猛進地步，第一臺電腦只用了70個小時就把π值計算到了2037位，以后紀(jì)錄不斷被刷新，計算公式也不斷更新，2011年日本人近藤茂利利用家中電腦和云計算把π計算到了10萬億位。剛剛2019年3月14日（國際圓周率日）谷歌日本女員工Emma Haruka Lwao將圓周率π算到31萬億位。
雖然離普朗克長度對應(yīng)的位數(shù)還有幾個數(shù)量級，但將來肯定會輕松超越。普朗克長度是為呼應(yīng)量子力學(xué)的量子化而出現(xiàn)的，它對應(yīng)的是普朗克質(zhì)量的黑洞所對應(yīng)的史瓦西半徑，與康普頓波長相當(dāng)，它主要是在測量方面的影響，與純抽象的數(shù)學(xué)運算無關(guān)。總之在數(shù)學(xué)上圓的周長可以無限分割，而不必考慮普朗克長度，也不必考慮超越數(shù)限制，因為你永遠(yuǎn)不會得到圓周率π的精確值，又何必在乎能不能畫出精確圓來，π的位數(shù)已經(jīng)達到幾十萬億位了，這個精度足夠了，早已超越最精確的誤差！！