解讀微積分之謎，看看天才數(shù)學(xué)家是如何思考的！

微積分的歷史可以這樣描述：一條來自柏拉圖（Plato，前427—前347），經(jīng)阿基米德、伽利略、卡瓦列里和巴羅的積累，到牛頓發(fā)生根本質(zhì)變，形成了運(yùn)動(dòng)學(xué)特征的微積分；另一條來自德謨克利特（Demokritos， 前460～前370），經(jīng)開普勒、費(fèi)馬、帕斯卡和惠更斯的積累，到萊布尼茲發(fā)生根本質(zhì)變，形成了原子論性質(zhì)的微積分。牛頓(Isaac Newton，1643—1727)在1665—1667年間所做的工作和萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716)在1673—1684年間所做的工作就分別是這兩條主線上的各自的質(zhì)變。它們是微積分演化史上不朽的里程碑。

李文林老師的《數(shù)學(xué)珍寶》一書，收錄了古今中外最經(jīng)典的一百篇數(shù)學(xué)著作。其中，在“微積分的制定與分析的形成”一章中，收錄有開普勒、卡瓦列里、費(fèi)馬和沃利斯等先驅(qū)們的啟發(fā)性著述，以及牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分時(shí)的詳細(xì)文獻(xiàn)資料。這使得我們可以一睹先賢的風(fēng)采，進(jìn)而了解歷史上偉大的數(shù)學(xué)家們是怎樣思考問題的。

開普勒（Johannes Kepler，1571—1630）不僅在天文學(xué)上聞名于世，其在數(shù)學(xué)上也是積分學(xué)的先騎。他的《測(cè)量酒桶的新立體幾何》一文，系統(tǒng)整理了阿基米德（Archimedes，前287—前212）的幾何學(xué)研究，對(duì)其主要結(jié)論給出新的證明方法——“夾逼法”，例如圓周率約是22/7，圓與其外切正方形面積之比是11：14等。而且，開普勒進(jìn)一步推廣了他的“夾逼法”，對(duì)一般旋轉(zhuǎn)體比如橢圓的體積進(jìn)行了有效地估計(jì)。

開普勒之后，卡瓦列里（Cavalieri，1598—1647）發(fā)表《不可分量的幾何學(xué)》一文，是對(duì)阿基米德的“窮竭法”嘗試進(jìn)行原理上的解釋。卡瓦列里認(rèn)為，點(diǎn)的大小和線段的面積等都是不可分量，不可分量的累加形成宏觀幾何體。不可分量思想直接啟迪了后世的牛頓和萊布尼茨。

隨著笛卡爾（Rene Descartes，1596—1650）和費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601—1665）發(fā)明解析幾何，幾何與代數(shù)融匯，微分法進(jìn)入幾何中，其中以法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬的《求極大值與極小值的方法》一文（1637年手稿）為代表。費(fèi)馬引入了增量的概念，然后讓總的增量為零，略去高次方項(xiàng)，便得到求極大值與極小值的方法。并且，費(fèi)馬將這個(gè)方法用于切線研究，成功給出了拋物線在任意一點(diǎn)處的切線公式。

另一方面，不借助幾何的無窮算術(shù)也在牛津大學(xué)幾何教授沃利斯(John Wollis，1616—1703)的天才直覺下蓬勃發(fā)展，他的《無窮算術(shù)》一文，是分析進(jìn)入數(shù)學(xué)的標(biāo)志。下面的實(shí)例將說明這一問題。

在巴羅（Isaac Barrow，1630—1677）的教導(dǎo)下，在上述著作的影響下，牛頓橫空出世，他的數(shù)學(xué)和力學(xué)思想成為開啟近代科學(xué)之門的金鑰匙，其著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》更是科學(xué)研究的范本。1665年，牛頓開始研究切線問題，切線的斜率對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)上的速率，牛頓發(fā)現(xiàn)，假如路程和時(shí)間各自增加自身的小o倍，那么方程依然成立，并且在略去小o的高次方項(xiàng)后，增量的比正好是速率。

牛頓的小o法可以推廣到任意方程之中，而方程對(duì)應(yīng)幾何曲線，于是，任意曲線在任意點(diǎn)處的切線問題便被牛頓完美地解決了！牛頓還發(fā)現(xiàn)了小o法的逆過程，可以由速度方程求出位移方程。他將這兩種計(jì)算方法整理成流數(shù)法，并且認(rèn)為，小o便是卡瓦列里所說的不可分量。

流數(shù)法的第一部分，被稱為“正流數(shù)術(shù)”，是已知流量間的關(guān)系求流數(shù)間關(guān)系的問題，牛頓通過實(shí)例給出了一般的計(jì)算方法。這對(duì)應(yīng)之后的隱函數(shù)求導(dǎo)問題。流數(shù)法的第二部分，被稱為“反流數(shù)術(shù)”，是已知流數(shù)間的關(guān)系，求流量間關(guān)系的問題，牛頓也通過實(shí)例給出了一些計(jì)算方法。這便是之后的微分方程的求解問題。

由于小o的無限小特性實(shí)在難以把據(jù)，牛頓在晚年拋棄了不可分量思想，改用“首末比不是無窮小增量之比，而是比的極限”來描述流數(shù)，極限的概念被柯西（Cauchy，1789—1857）所繼承，成為應(yīng)對(duì)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的重要工具。

牛頓的流數(shù)法很晚才正式發(fā)表，在此之前，只有他一人了解這種算法。而對(duì)于微積分的傳播，萊布尼茨居功至偉，他發(fā)明的微分和積分符號(hào)，至今沿用。1684年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。此文系統(tǒng)闡釋了他1673年以來的思考結(jié)果，定義了微分，給出了微分的一般算法和應(yīng)用。

萊布尼茨認(rèn)為，微分dx，dy等是實(shí)實(shí)在在的無窮小量，它與相應(yīng)的x,y的瞬時(shí)增量成正比，將方程中的項(xiàng)以微分算式表示便得到微分方程，而微分方程的求解則是逆轉(zhuǎn)微分算法。

兩年后，萊布尼茨的第一篇積分學(xué)論文發(fā)表，其中定義了積分符號(hào)是sum中s的拉長(zhǎng)，代表微分的和，積分與微分是互逆的運(yùn)算，求面積求路程是積分問題，求切線求速度是微分問題。萊布尼茨證明，任意曲線與橫坐標(biāo)組成的曲邊梯形的面積，其隨坐標(biāo)的變化速率曲線，正好是本曲線沿坐標(biāo)軸的平移結(jié)果，這一定理在后世被稱為牛頓-萊布尼茨公式。它標(biāo)志著微積分的正式發(fā)明。

歲月悠悠，一晃五十年，正當(dāng)人們?yōu)槲⒎e分的強(qiáng)大與精準(zhǔn)而驚嘆時(shí)，一位神學(xué)大主教貝克萊（George Berkeley，1685—1753）以其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问竭壿嫞赋隽宋⒎e分計(jì)算過程中的致命錯(cuò)誤：小o或微分到底是不是0，為什么可以忽略高次項(xiàng)。它動(dòng)搖了微積分的邏輯基礎(chǔ)，引發(fā)了歷史上第二次數(shù)學(xué)危機(jī)！