量子世界，也能用經(jīng)典物理來描述？

當(dāng)一個球被拋向空中時，根據(jù)經(jīng)典物理學(xué)方程，我們可以準(zhǔn)確得知，這個球在下落時會沿著什么路徑運(yùn)動，以及它會在何時、何處落地。但如果同一個球被壓縮到原子大小，甚至更小，它的行為就會超出經(jīng)典物理學(xué)所能預(yù)測的范圍。

至少，到目前為止，我們一直是這樣認(rèn)為的。

如今，一項(xiàng)新發(fā)表于《英國皇家學(xué)會會刊》的研究表明，日常經(jīng)典物理學(xué)中的某些數(shù)學(xué)思想，也可以用來描述量子尺度、亞原子尺度上那些常常顯得奇異而反直覺的行為。在這項(xiàng)新的研究中，一個研究團(tuán)隊(duì)證明了，量子物體的運(yùn)動可以通過應(yīng)用經(jīng)典物理學(xué)中被稱為“最小作用量”的概念來計(jì)算。

從最小作用量到雙縫實(shí)驗(yàn)

最開始，研究人員想要通過開發(fā)模型，來描述機(jī)器人控制、飛行器控制、神經(jīng)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)等問題中的復(fù)雜行為。為了預(yù)測這類系統(tǒng)的行為，工程師常常會借助哈密頓-雅可比方程。這是經(jīng)典力學(xué)中的重要表述之一，也與著名的牛頓運(yùn)動定律密切相關(guān)。

哈密頓-雅可比方程本質(zhì)上把物體的運(yùn)動表示為：物體會沿著一條使“作用量”達(dá)到最小的路徑前沿。舉一個簡單的例子：一個球從A點(diǎn)被拋向B點(diǎn)。從理論上說，這個球可以在兩點(diǎn)之間走出無數(shù)條曲折路徑。但這個方程表明，球?qū)嶋H經(jīng)過的路徑，是那條滿足最小作用量條件的路徑。

在這里，作用量可以理解為把物體在運(yùn)動過程中每一刻的“動能與勢能之差”不斷累加起來，最后得到的總量。因此，球從A點(diǎn)到B點(diǎn)理論上可以有很多可能路徑，但真正走的那條路徑，是那條讓“動能與勢能之差在整個過程中總體達(dá)到最小”的路徑。

研究人員將哈密頓-雅可比方程以及最小作用量原理應(yīng)用于一系列帶有約束條件的經(jīng)典力學(xué)問題。就在這一過程中，他們意識到，只要進(jìn)行一些數(shù)學(xué)擴(kuò)展，這個方程也可以用來求解量子力學(xué)中一個著名的問題：雙縫實(shí)驗(yàn)。

雙縫實(shí)驗(yàn)展示了量子尺度上出現(xiàn)的一種奇異的、非經(jīng)典的行為。這個實(shí)驗(yàn)的設(shè)置是：在一塊金屬擋板上開出兩條狹縫。當(dāng)單個光子射向這塊擋板時，如果按照經(jīng)典物理學(xué)的預(yù)測，光子應(yīng)當(dāng)沿著一條路徑，直接穿過其中某一條狹縫，并在擋板另一側(cè)形成一個光點(diǎn)。

然而，實(shí)際情況卻是不是光點(diǎn)，而是明暗相間的條紋。這種幾乎“扭曲現(xiàn)實(shí)”的圖樣，來自一種量子力學(xué)現(xiàn)象——一個光子可以同時走過不止一條路徑。在雙縫實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)單個光子射向擋板時，它可以同時穿過兩條狹縫，并沿著兩條路徑傳播；這兩條路徑最終會相互干涉。最終形成的條紋圖樣意味著，光子的這兩條相互干涉的路徑必然具有波的特征。因此，這個實(shí)驗(yàn)證明，量子粒子也可以以一種看似不可思議的方式表現(xiàn)得像波一樣。

自量子力學(xué)誕生以來，物理學(xué)家一直試圖用日常經(jīng)典物理學(xué)中的工具來解釋雙縫實(shí)驗(yàn)。但他們此前只能近似得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

即便是著名物理學(xué)家費(fèi)曼（Richard Feynman）也認(rèn)為這項(xiàng)任務(wù)無法完成。他認(rèn)為，要解釋這一現(xiàn)象，就必須把光子理論上可能走過的所有路徑都納入考慮，包括無數(shù)條曲折路徑。這樣的處理需要計(jì)算無限多條可能的曲折路徑，而這些路徑都與經(jīng)典物理學(xué)中人們預(yù)期的平滑路徑相矛盾。

研究人員意識到，正是最后這一點(diǎn)可以被調(diào)整。經(jīng)典物理學(xué)假設(shè)，一個物體從A點(diǎn)到B點(diǎn)只能走一條路徑；而量子力學(xué)則允許一個物體同時走多條路徑、同時處于多種狀態(tài)之中。這種基本量子性質(zhì)被稱為“疊加”。

于是，他們提出，也許可以讓經(jīng)典物理在數(shù)學(xué)上接受“多路徑”的概念。這樣一來，描述量子現(xiàn)象時就不必計(jì)算無限多條可能路徑，而只需要計(jì)算少數(shù)幾條滿足最小作用量條件的經(jīng)典路徑，就能重現(xiàn)量子力學(xué)的結(jié)果。

帶著這個想法，他們重新審視了哈密頓-雅可比方程，試圖弄清如何調(diào)整其中的最小作用量原理，使其能夠預(yù)測雙縫實(shí)驗(yàn)和其他量子現(xiàn)象。

用“密度”重寫量子路徑

在這項(xiàng)新研究中，研究團(tuán)隊(duì)加入了經(jīng)典物理學(xué)中的另一個要素——密度。從本質(zhì)上說，它表示某一條路徑被采用的概率。

研究人員解釋說：“我們是從流體動力學(xué)的角度來理解密度的。以雙縫實(shí)驗(yàn)為例，想象你用一根水管朝墻噴水：大部分水會打到中心位置，但也會有一些水滴飛向兩側(cè)。中心位置的水流密度較高，就意味著沿著那條路徑找到水滴的概率更高。這里會形成一個分布，而這個分布是可以計(jì)算的。”

研究人員對哈密頓-雅可比方程進(jìn)行了調(diào)整，將密度項(xiàng)和多條最小作用量路徑納入其中，并把它應(yīng)用到雙縫實(shí)驗(yàn)。他們發(fā)現(xiàn)，在這種表述下，他們只需考慮分別穿過兩條狹縫的兩條經(jīng)典路徑，而不需要像費(fèi)曼的方法那樣處理無限多條曲折路徑。

最終，他們通過計(jì)算經(jīng)典密度和作用量，得到了一個波函數(shù)，也就是光子可能采取的最可能路徑分布。這一結(jié)果與薛定諤方程的預(yù)測完全一致。而薛定諤方程正是描述量子力學(xué)行為的核心方程。

這表明，只要以適當(dāng)方式計(jì)算密度，量子力學(xué)中的薛定諤方程和經(jīng)典物理學(xué)中的哈密頓-雅可比方程實(shí)際上是等價的。這是一個純粹的數(shù)學(xué)結(jié)果，它并不是說量子現(xiàn)象會發(fā)生在經(jīng)典尺度上，而是說我們可以用非常簡單的經(jīng)典工具來計(jì)算量子行為。

一座更堅(jiān)固的數(shù)學(xué)橋梁

除了雙縫實(shí)驗(yàn)之外，研究人員還證明，這一經(jīng)過改寫的方程也可以預(yù)測其他量子力學(xué)行為，例如量子隧穿。在量子隧穿中，電子等粒子可以穿過能壘，而根據(jù)經(jīng)典物理學(xué)，這是不可能發(fā)生的。此外，他們還能夠從行星的經(jīng)典軌道出發(fā)，推導(dǎo)出氫原子中電子的精確量子波。最后，他們還從這一視角重新審視了著名的愛因斯坦-波多爾斯基-羅森（EPR）實(shí)驗(yàn)。這個實(shí)驗(yàn)開啟了現(xiàn)代量子糾纏研究。

這些神秘現(xiàn)象過去只能通過量子力學(xué)方程來理解，而現(xiàn)在，也能用這種新的經(jīng)典表述來描述。從本質(zhì)上說，這項(xiàng)研究在我們熟悉的日常經(jīng)典物理世界與原子以下尺度的世界之間，建立了一座精確的數(shù)學(xué)橋梁。

研究人員表示，過去，經(jīng)典物理和量子物理之間只有一座非常脆弱的橋梁，而且只適用于相對較大的量子粒子。而現(xiàn)在，我們有了一座堅(jiān)固的橋梁——這是一種可以共同描述量子力學(xué)、經(jīng)典力學(xué)和相對論的方法，并且適用于所有尺度。

研究人員設(shè)想，物理學(xué)家或許可以把這一新公式作為一種簡便方法，用來預(yù)測某些量子系統(tǒng)和量子器件的表現(xiàn)。這可能對量子計(jì)算產(chǎn)生重要影響，因?yàn)樵诹孔佑?jì)算中，量子比特具有一些物理學(xué)家必須近似處理的非線性能量。它也可能幫助我們更好地理解同時涉及量子物理和廣義相對論的問題。

#參考來源：

https://news.mit.edu/2026/new-study-bridges-classical-and-quantum-physics-0421

https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/482/2336/20250413/481461/On-computing-quantum-waves-exactly-from-classical

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