科學·前沿：噪聲誘導的穩定性

導語

在通常的認知中，對于需要精確同步的系統而言，我們通常會認為噪聲是有害的，因為它會導致系統中各組件之間喪失同步關聯。然而，這篇2025年8月發表于Science Advances上的論文通過理論與實驗的相互驗證，展示了適當強度的噪聲不僅不會削弱存在偏差的系統的同步性，甚至能夠使這些產生偏差的系統重新恢復到同步狀態。其實，這一現象的歷史也較為久遠，而且在我們的日常生活中也能夠看到類似現象，例如劇院里有節奏的鼓掌，或鳥群和魚群的群體動力學。在這些案例中，噪聲能夠起到穩定群體整體行為的作用。這種現象不僅十分常見，而且在數學上也早已得到嚴格證明。這表明隨機系統與對應的確定性系統在動力學性質上存在顯著差異。因此，對隨機動力學的研究，并不僅僅是確定性動力學加上噪聲那么簡單。

關鍵詞：噪聲調控、同步增強、稀釋效應(dilution effect)、拍頻抑制、非單調響應、抗擾動能力、隨機動力學

諸葛昌靖丨作者

趙思怡丨審校

論文標題：Noise-enhanced stability in synchronized systems 論文鏈接：https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.adx1338發表時間：2025年8月1日 發表期刊：Science Advances

引言

在通常認知中，“噪聲”幾乎總是同步系統的敵人：它會擾亂相位、放大誤差，并最終破壞系統的穩定運行。然而，越來越多來自復雜系統研究的結果表明，這種直覺并不總是成立。在特定條件下，噪聲不僅不會削弱同步，反而可能成為維持甚至增強系統穩定性的關鍵因素。這一現象與經典的隨機共振和相位同步等理論一脈相承，揭示了隨機性在動力學系統中的“功能性角色”。

同步現象廣泛存在于自然科學和工程系統中，從生物節律[1-7]到物理振蕩器[8-13]，再到電網與通信網絡[14-19]，其核心機制是通過弱相互作用使系統各組成單元在相位與頻率上實現協調[20-30]。這種集體行為能夠帶來多重優勢，例如提高運行效率、增強穩定性以及抑制局部波動。然而，同步系統的這種“相位靈活性”也使其對外部擾動高度敏感：當系統受到強干擾時，原本協調的振蕩會轉變為拍頻振蕩（beat），引發大幅振幅波動和相位漂移，進而導致同步喪失、恢復變慢以及整體性能下降[36-40]。這類問題在工程實踐中尤為突出，例如風湍流可能導致飛機發動機同步失穩[41]，強信號干擾也會破壞微機電系統（Micro-Electro-Mechanical Systems, MEMS）振子的鎖相狀態[42-43]。

因此，提高同步系統在強干擾下的魯棒性一直是核心問題。傳統方法主要包括增強耦合強度、引入非線性反饋控制或優化網絡結構等，但這些策略依賴更復雜的硬件設計和更高的系統成本，例如高精度傳感器和實時控制電路。此外，一些替代方法（如模態耦合）雖在特定系統中展現出潛力，但在大規?；蚋叨韧骄W絡中的實現仍面臨挑戰。

與壓低隨機性的思路不同，該論文提出了一種反直覺但十分有效的策略，即利用可控噪聲來增強同步穩定性。這一策略的核心機制思路是利用噪聲“打散”集中于拍頻響應中的能量，從而削弱外部干擾的破壞作用。該論文在全文中使用術語稀釋效應 (dilution effect)來描述噪聲能夠削弱干擾導致的不良響應這一現象。

具體而言，該論文通過兩個不同尺度系統驗證了這一機制：一是靜電耦合的微尺度振子系統，二是機械耦合的宏觀轉子系統。實驗與數值模擬一致表明，在適度噪聲強度下，系統不僅能夠更快實現同步，還表現出更強的抗干擾能力以及更優的長期頻率穩定性。同時，研究也揭示了噪聲效應的非單調特征：過低的噪聲不足以產生顯著影響，而過高的噪聲則會重新破壞同步，從而存在一個最優噪聲窗口。

類似的“噪聲有益”現象此前已在非同步系統中被觀察到，例如在模式識別、量子信息處理以及群體行為中，噪聲可以提高系統性能。這些研究共同指向一個更一般性的結論：隨機擾動并非只是需要被抑制的誤差來源，而可能是可以被利用的動力學資源。在同步系統中，這一點尤為微妙——盡管噪聲本身會引入頻率波動，但由于相位鎖定和集體振蕩機制的存在，其負面影響可以被部分抵消，從而使其正面效應占據主導。

綜上，該論文表明：在適當調控下，噪聲可以從“破壞因素”轉變為“穩定機制”。這一發現不僅拓展了我們對隨機動力學的理解，也為在工程系統中以更低成本實現高魯棒同步提供了新的思路，并在計時、通信、微機電系統乃至生物啟發計算等領域具有潛在應用價值。

噪聲如何“幫忙”：從拍頻破壞到稀釋效應

要理解這一現象，關鍵在于拍頻（beat frequency）機制。當兩個振子的頻率存在微小差異時，系統會出現振幅周期性增強與減弱的拍頻現象，同時伴隨著持續的相位漂移。這種拍頻響應會顯著放大系統的振幅波動，使同步狀態變得不穩定，甚至導致完全失同步。因此，在許多實際系統中，拍頻是同步被破壞的主要途徑。圖1A和圖1B給出了這一過程的整體示意。系統從穩定自振蕩進入拍頻狀態，在外部干擾作用下偏離同步，而在引入噪聲后則能夠更快地恢復到同步狀態。這一現象在該論文中稱為噪聲稀釋效應，其核心機制是噪聲將原本集中在拍頻響應中的能量分散開，從而削弱外部干擾對系統的破壞作用。從頻域角度來看，噪聲的引入會導致系統譜線展寬(圖1C)，使得原本集中在特定頻率附近的能量分布到更寬的頻率范圍內，從而降低干擾對系統的“精準作用”。而在時域上，這一過程則表現為振幅漲落的減弱以及系統恢復過程的加速。換句話說，噪聲并非簡單地增加隨機性，而是改變了系統對外界擾動的響應方式。圖1D展示了在不同噪聲強度下，兩個振子的頻率、振幅以及相位差隨時間的演化過程?？梢灾庇^地看到：隨著噪聲的引入，系統的同步行為發生了顯著變化——在適度噪聲下，相位差更快收斂，而當噪聲過強時，同步反而被破壞。這一結果已經初步暗示：噪聲對同步的影響并非單調，而是存在最優區間。

圖1：同步系統中噪聲稀釋效應的概念示意圖。(A) 受白噪聲作用的耦合振子同步的簡化物理模型。下方面板顯示了頻域中噪聲稀釋效應 (粉色虛線曲線) 對外部干擾引起的響應的影響，而稀釋效應在同步頻率處被壓縮。(B) 同步系統在不同階段 (自振蕩、干擾下的拍頻響應、干擾和噪聲下的再同步) 時域振幅 (無量綱) 的仿真。(C) 具有噪聲稀釋效應的同步時間 (無量綱) 的仿真，其中藍線是無噪聲的仿真同步時間，粉色區域表示有噪聲稀釋時的同步時間。(D) 耦合振子頻率響應的圖示，包含多個階段：拍頻階段、同步過程階段、干擾引起的失同步階段、噪聲調制引起的同步過程加速階段以及能夠抵抗相同水平干擾的噪聲調制增強穩定性階段。

作為理解理解噪聲為何能夠增強同步具體的實例，最簡單也是最具代表性的的是二耦合振子系統模型。盡管現實中的同步現象可能涉及復雜網絡，但大量研究表明，其核心動力學往往可以歸結為這一基本單元。這一過程可以通過在振子動力學方程中引入隨機項來描述。在這些系統中加入噪聲調制后，振子運動的廣義控制方程如下。

其中 為阻尼系數，是兩個振子的固有頻率。系數 和 分別表示二次和三次非線性。Ei 表示維持振蕩的外部驅動振子的振幅，Φi(t) 是兩個振子的瞬時相位。Gi 表示振子之間的線性相互作用，這在平行板靜電力耦合結構中占主導地位[55]。項ξi(t) 表示獨立的白高斯噪聲，其相關函數為 ，其中D是噪聲強度。通常加性噪聲來源于機械熱漲落，而乘性噪聲與驅動信號和檢測信號中的漲落有關[56]。

系統在包含阻尼、非線性和耦合等基本動力學結構的同時，還受到加性噪聲和乘性噪聲的共同作用。其中，加性噪聲通常來源于熱漲落等外部擾動，而乘性噪聲則反映了驅動和測量過程中的不穩定性。這些噪聲并不是簡單疊加在系統之上，而是通過改變系統的響應結構，影響其整體動力學行為。圖2展示了噪聲在不同系統中的差異作用。在未耦合的單個振子中，噪聲僅僅表現為擾動源，會直接降低系統的穩定性；然而在耦合振子系統中，噪聲卻能夠抑制由拍頻引起的大幅振蕩，使系統在干擾存在的情況下仍然保持接近同步的狀態。這表明，同步結構本身具有一定的“噪聲過濾”能力，使得噪聲的負面影響被部分抵消，而其對干擾的削弱作用則得以保留。該論文通過對具有固定初始頻率失配的振子系統進行大量數值模擬，定量刻畫了這一效應，統計了不同噪聲強度下的同步時間。通過突然增加30%的振幅和頻率引入干擾，模擬了系統的快速能量注入 (例如，脈沖或共振激勵)。同步的噪聲抑制效應有效地抑制了同步頻率處的隨機漲落，保持了同步性能 (圖2B)。

圖2：擾動前后噪聲對諧振器和同步振子影響的模擬. (A) 和 (B) 分別為未耦合諧振器和同步振子在擾動前后的模擬。

噪聲誘導的稀釋效應有效減少了拍頻階段的振幅漲落，使系統能夠更快、更魯棒地抵御外部干擾，并且進一步地研究表明，隨著噪聲強度的增加，同步時間呈現出典型的非單調變化：在低噪聲水平下，拍頻效應顯著，同步過程較慢；當噪聲增加到適當范圍時，拍頻被有效抑制，同步時間顯著縮短；而當噪聲進一步增強時，系統的隨機波動過大，反而阻礙了同步的實現。這一“先減小后增大”的趨勢清楚地表明，系統中存在一個最優噪聲窗口，使同步效率達到最大。這說明適當強度的白噪聲能有效抑制干擾引起的振幅漲落并加速同步，展示了其增強同步效率和韌性的潛力。

從更直觀的角度來看，可以將外部干擾理解為一種“集中且具有針對性”的作用，而噪聲則是一種“分散且無方向”的擾動。當系統中僅存在干擾時，這種集中作用容易破壞同步；而當適度噪聲存在時，它會削弱這種集中性，使干擾的影響被“稀釋”，從而有利于系統維持整體協調。正是在這一意義上，噪聲不再只是傳統意義上的不利因素，而成為一種可以調控系統行為的有效機制。

綜合而言，這一部分結果表明，噪聲通過稀釋拍頻響應，不僅能夠降低振幅漲落，還可以加快同步過程并增強系統對外部干擾的魯棒性。基于這一機制，該論文進一步在微觀的微機電振子系統和宏觀的機械轉子系統中進行了實驗驗證，證明該效應具有跨尺度的普適性，并為后續的工程應用提供了基礎。

實驗驗證：從微觀到宏觀

為了直接驗證“噪聲稀釋效應”在真實系統中的作用，該論文分別在微觀尺度的靜電耦合微機電振子和宏觀尺度的機械耦合轉子上進行了實驗，驗證了適度白噪聲對同步系統的影響 (圖3和圖4)。靜電耦合微機電振子實驗利用鎖相環使兩個單晶硅微諧振器建立自激振蕩以實現初始同步，并通過波形發生器向系統引入超寬帶噪聲。機械耦合轉子實驗室將兩個電機轉子安裝在鋁合金板兩翼以產生機械耦合，隨后利用機械振動臺注入寬帶噪聲并用測力錘施加物理沖擊來模擬外部干擾。

圖3: 微機械振子的器件特性與噪聲效應. (A) 微機械直梁諧振器的光學圖像, 放大視圖突出顯示了諧振器 (R1和R2). (B) 在不同激勵幅度 (50至500 mV) 下測得的R1和R2的幅頻響應, 顯示出隨驅動水平增加而出現的軟化非線性行為. (C) 噪聲的時域響應和頻譜. 噪聲的頻率帶寬為10 MHz, 電壓為0.1VPP . (D) 無噪聲調制 (藍色陰影區域) 和有噪聲調制 (粉色陰影區域) 下R1 (藍色) 和R2 (紅色) 的時域振幅. 插圖描述了兩個振子之間的振幅關系：左插圖顯示了無噪聲時干擾前 (灰色) 和干擾后 (粉色) 的關系, 右插圖顯示了有白噪聲 (0.1VPP ) 時干擾前 (黃色) 和干擾后 (藍色) 的關系. 在這些情況下, VDC = 20VPP , VAC = 300 mV. (E) 在不同噪聲水平 (0.1、0.5、1和2VPP ) 下, R1在無噪聲擾動狀態 (δA1) 和有噪聲擾動狀態 (δA2) 的振幅漲落比 (δA1/δA2). (F) 有和無噪聲調制下R1的振幅衰減. 實驗數據 (點) 用指數衰減曲線 exp (?λt) (實線) 擬合, 擬合得到 λ0 = 20, λ1 = 36, 表明噪聲增強了衰減率. (G) 噪聲對兩個振子振幅衰減的影響. 不同噪聲強度 (0.1、0.5、1和2VPP ) 下無噪聲與有噪聲的振幅衰減比. 所有實驗中的直流電壓均設為 VDC = 20VPP .

在耦合微機電振子實驗中，通過向兩個振子同時引入頻率 Ωp 接近但略有不同于同步頻率Ωs 的外部信號來引入干擾。這種頻率失配 ΔΩ=Ωp-Ωs 導致兩個振子之間產生拍頻現象，有效地模擬了擾動狀態(外部信號幅度和頻率失諧對兩個振子振幅漲落影響的詳細刻畫見原文附件)。如圖4D所示，當兩個振子同步時，它們振幅之間的關系呈現為離散點 (狀態1，灰色點)，表明振幅漲落相對較小 (δA1<0.2mV，δA2<0.012mV)。在拍頻階段，施加頻率接近振蕩頻率的外部信號(30mV, ΔΩ=40Hz)引起了較大的振幅漲落 (1\\ \\mathrm{mV}"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">δA1>1mV, 0.13\\ \\mathrm{mV}"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">δA2>0.13mV)，產生拍頻并形成較大的外圈 (狀態2，粉色點)。當白噪聲頻率提高到10MHz (0.1VPP)時，先前未受擾動的狀態變得略有噪聲 (狀態3，黃色點，1\\\\ \\\\mathrm{mV}\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"mpa-font-style":"mnwhvl9odc6","style":"font-size: 15px;"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"data-meta-block-props":"{\"blockId\":\"b2ea152a-da7f-476e-8b99-718281962365\",\"blockType\":\"EQUATION_BLOCK\",\"initData\":{},\"props\":{\"data\":{\"equation\":\"\\\\delta A_{1}<0.2\\\\ \\\\mathrm{mV}\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"data-mpa-action-id":"mnwjlm2oe4z","data-pm-slice":"0 0 []"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"}]">δA1～0.36mV, 1\\\\ \\\\mathrm{mV}\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"mpa-font-style":"mnwhvl9odc6","style":"font-size: 15px;"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"data-meta-block-props":"{\"blockId\":\"b2ea152a-da7f-476e-8b99-718281962365\",\"blockType\":\"EQUATION_BLOCK\",\"initData\":{},\"props\":{\"data\":{\"equation\":\"\\\\delta A_{1}<0.2\\\\ \\\\mathrm{mV}\"},\"displayMode\":\"inline\",\"viewType\":\"inline\"}}"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"},"node",{"tagName":"span","attributes":{"data-mpa-action-id":"mnwjlm2oe4z","data-pm-slice":"0 0 []"},"namespaceURI":"http://www.w3.org/1999/xhtml"}]">δA2～0.024mV). 此時重新引入相同水平的干擾信號時，兩個振子的振幅都顯示出明顯較小的漲落 (δA1<0.5mV, δA2<0.07mV), 與無噪聲稀釋效應條件相比，使擾動狀態(狀態4, 藍色點) 相比無噪聲情況更接近未擾動狀態。

在無干擾時，系統處于穩定同步狀態，兩個振子的振幅波動較小，表現為集中分布的離散點。然而，一旦施加外部干擾，拍頻效應迅速出現，振幅漲落顯著增加，系統進入明顯的不穩定狀態。這一變化反映出拍頻是破壞同步穩定性的關鍵機制。

關鍵結果出現在引入噪聲之后。當向系統注入適度白噪聲時，即使在沒有外部干擾的情況下，振幅波動略有增加，但整體仍保持可控范圍。當重新施加同樣的干擾信號時，系統的響應發生了顯著變化：振幅漲落明顯減小，相比無噪聲情況更接近原始同步狀態。這一結果表明，噪聲并沒有簡單地疊加擾動，而是削弱了干擾所引發的拍頻響應，從而驗證了“稀釋效應”的存在。進一步地，從 0 到 2VPP 改變噪聲強度來刻畫噪聲稀釋效應，并通過計算有無噪聲的振幅漲落比率來量化其影響(圖4E)。結果表明，在特定強度 (0.1, 0.5 和 1VPP) 下，引入的噪聲有效抑制了振幅漲落。當噪聲強度達到 2VPP 時，兩個振子的振幅漲落比階段2更加明顯。這一結果再次說明噪聲的作用具有明顯的最優區間，而非單調影響。

此外，該論文展示了引入的噪聲增加了從拍頻響應階段恢復到自振蕩階段的振幅衰減率，如圖4F所示。移除干擾信號 (30mV, ΔΩ=40Hz) 后，兩個振子的振幅在無噪聲和有噪聲情況下都衰減到穩定值。有噪聲時的衰減率(λ1), 通過指數擬合提取，是無噪聲時衰減率 (λ0)的1.8倍。該論文進一步量化了在噪聲強度為 0.1, 0.5, 1 和2VPP 時 λ1/λ0 的比率(圖5G)。對于 0.1 到1VPP, 1"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">λ1/λ0>1，表明噪聲加速了從擾動狀態的恢復。然而，在 2VPP 時，由于過量噪聲引起的大振幅漲落，衰減變慢。

最后，作者通過引入強脈沖干擾，直接測試了系統的抗沖擊能力。在無噪聲條件下，脈沖會導致顯著的頻率失配，并引發持續的拍頻振蕩，使系統難以恢復同步。而在加入適度噪聲后，拍頻幅度明顯減小，系統能夠重新進入同步狀態，甚至在后續擾動中實現自主再同步。這一結果進一步證明：噪聲不僅可以加速同步，還能夠顯著增強系統對強干擾的魯棒性。

圖4: 耦合宏觀轉子上噪聲效應的實驗方案與結果. (A) 實驗裝置：兩個轉子安裝在飛機形鋁合金板的機翼上；加速度計固定在每個轉子的頂部. 寬帶噪聲通過激振器引入；機械沖擊施加在板中心. (B) 三個驅動水平 (級別1至3) 下的時域加速度信號及對應的頻譜, 紅色和藍色跡線分別代表轉子1和轉子2. (C) 輸入噪聲的時域和頻域刻畫 (0.1 V, 限于10 kHz). (D和E) 無噪聲時轉子啟動過程中的同步動力學和實時頻率演化. (F和G) 與 (D) 和 (E) 相同, 但存在噪聲 (0.1 V, 限于10 kHz). (H) 無噪聲及噪聲強度為0.1、0.3和0.5VPP 時的同步時間. (I) 無噪聲和有噪聲情況下沖擊對轉子的影響. 左上：儀器化錘產生的時域沖擊信號. 左下：沖擊后的轉子加速度響應. 右上和右下：分別對應無噪聲和有噪聲情況下沖擊前后的功率譜密度 (功率譜密度). (J) 在級別3, 無噪聲和有 0.3VPP 噪聲情況下, 沖擊擾動后的時域加速度軌跡. 恢復時間定義為擾動信號恢復到穩定振幅所需的時間, 使用加速度軌跡的包絡量化. (K) 在相同沖擊條件下, 無噪聲及不同噪聲強度 (0.1、0.3和0.5VPP ) 下的恢復時間.

類似地，機械耦合轉子系統的實驗結果也展示了適度噪聲對系統穩定性的積極增強作用。在引入適度強度的寬帶機械噪聲后，轉子在不同驅動檔位下的啟動同步過程均得到了顯著加速，從而大幅縮短了系統達成機械同步所需的時間。此外，當系統遭遇強烈外部機械沖擊干擾時，適度的噪聲有效抑制了沖擊引發的劇烈頻譜偏移，使系統的頻譜展寬更加均勻，并成功維持了同步頻率的核心峰值不受破壞，展現出強大的物理韌性。不過，實驗也發現，這種增益效果存在物理極限。當引入的噪聲強度過大時，過度的機械擾動反而會破壞系統內部剛剛建立的脆弱耦合平衡，阻礙能量的有效傳遞，導致同步時間再次延長?？傮w而言，該結果確鑿地證實了適度白噪聲產生的稀釋效應同樣適用于宏觀的機械耦合系統，說明了利用噪聲增強抗干擾能力的策略在實際大型工程結構中具備普適性與落地可行性。

總結來說，耦合微機電振子實驗表明了噪聲作用具有非單調特征。其對同步振子具有抑制擾動振幅漲落和加速振幅趨于穩定狀態的兩種效應。一方面，它抑制了拍頻引起的振幅漲落；另一方面，它加快了系統從擾動狀態恢復的速度。正是這兩種效應的共同作用，使得噪聲從傳統意義上的“干擾源”，轉變為一種可以提升同步性能的調制機制。

討論：當噪聲不再是“敵人”

傳統認知中，噪聲往往被視為需要盡可能抑制的干擾源。然而，該論文的研究提供了一種不同的視角：在特定條件下，噪聲不僅不是負擔，反而可以成為提升系統性能的關鍵因素。通過在微尺度靜電耦合微機械振子與宏觀機械耦合轉子上的實驗驗證，我們發現，當白噪聲強度處于適當范圍內時，系統能夠實現更快速的同步過程、更強的抗外部干擾能力，并在較長時間尺度上保持更優的頻率穩定性。

從理論層面看，該論文基于受隨機擾動的耦合振子模型，對噪聲的作用機制進行了系統分析。結果表明，適度噪聲可以通過“稀釋效應”分散干擾能量，從而加速同步建立；但當噪聲過強時，其自身引入的不穩定性將反過來抑制同步性能。這種“適度最優”的非單調行為，為理解復雜系統中隨機性與有序性的關系提供了新的物理圖景。

這一發現也為未來研究打開了多個方向。例如，窄帶噪聲與寬帶噪聲等不同類型噪聲是否會帶來差異化影響？在更大規?；蚋鼜碗s拓撲的振子網絡中，這種噪聲誘導效應是否依然成立？這些問題都有待進一步探索。

更重要的是，這一機制具備清晰的應用潛力。在計時與頻率參考系統中，引入受控噪聲有望在無需額外復雜電路的前提下提升長期穩定性；在通信系統中，噪聲增強的同步機制可用于降低相位抖動、提升信號相干性。而在微機電系統與慣性傳感領域，環境噪聲通常難以避免，該論文結果則提示：與其“對抗噪聲”，不如“利用噪聲”，通過受控注入來穩定系統整體性能。

從工程實現角度來看，本研究在微觀與宏觀兩個尺度上的實驗均采用了常規白噪聲源與標準測量手段，證明該方法并非局限于理想化模型，而是具有良好的現實可行性。此外，由于耦合機制與噪聲調制策略具有較強的普適性，這一思路還有望拓展至更多領域，例如神經形態計算、生物起搏系統以及多機器人協同控制等，這些系統普遍需要在復雜波動環境中實現穩定協同。

總體而言，該論文揭示了噪聲在同步系統中的“建設性角色”，為理解隨機性如何促進有序行為提供了新的視角，也為未來在科學研究與工程實踐中主動利用噪聲提供了一條切實可行的路徑。

參考文獻

1. L. Glass, Synchronization and rhythmic processes in physiology. Nature 410, 277–284 (2001).

2. S. Shahal, A. Wurzberg, I. Sibony, H. Duadi, E. Shniderman, D. Weymouth, N. Davidson, M. Fridman, Synchronization of complex human networks. Nat. Commun. 11, 3854 (2020).

3. I. Nitsan, S. Drori, Y. E. Lewis, S. Cohen, S. Tzlil, Mechanical communication in cardiac cell synchronized beating. Nat. Phys. 12, 472–477 (2016).

4. R. E. Goldstein, M. Polin, I. Tuval, Noise and synchronization in pairs of beating eukaryotic flagella. Phys. Rev. Lett. 103, 168103 (2009).

5. C. Chen, S. Liu, X.-Q. Shi, H. Chaté, Y. Wu, Weak synchronization and large-scale collective oscillation in dense bacterial suspensions. Nature 542, 210–214 (2017).

6. A. Japaridze, V. Struijk, K. Swamy, I. Ros?oń, O. Shoshani, C. Dekker, F. Alijani, Synchronization of E. coli bacteria moving in coupled microwells. Small 21, e2407832 (2025).

7. Y. Ito, T. I. Shiramatsu, N. Ishida, K. Oshima, K. Magami, H. Takahashi, Spontaneous beat synchronization in rats: Neural dynamics and motor entrainment. Sci. Adv. 8, eabo7019 (2022).

8. V. M. Vinokur, T. I. Baturina, M. V. Fistul, A. Y. Mironov, M. R. Baklanov, C. Strunk, Superinsulator and quantum synchronization. Nature 452, 613–615 (2008).

9. D. Antonio, D. A. Czaplewski, J. R. Guest, D. López, S. I. Arroyo, D. H. Zanette, Nonlinearity-induced synchronization enhancement in micromechanical oscillators. Phys. Rev. Lett. 114, 034103 (2015).

10. J. L. Wilson, A. A. Pahlavan, M. A. Erinin, C. Duprat, L. Deike, H. A. Stone, Aerodynamic interactions of drops on parallel fibres. Nat. Phys. 19, 1667–1672 (2023).

11. E. Um, M. Kim, H. Kim, J. H. Kang, H. A. Stone, J. Jeong, Phase synchronization of fluid-fluid interfaces as hydrodynamically coupled oscillators. Nat. Commun. 11, 5221 (2020).

12. M. H. Matheny, J. Emenheiser, W. Fon, A. Chapman, A. Salova, M. Rohden, J. Li, M. H. de Badyn, M. Pósfai, L. Duenas-Osorio, M. Mesbahi, J. P. Crutchfield, M. C. Cross, R. M. D’Souza, M. L. Roukes, Exotic states in a simple network of nanoelectromechanical oscillators. Science 363, eaav7932 (2019).

13. D. Shenhav Feigin, O. Shoshani, Synchronization of non-weakly coupled aeroelastic oscillators. Commun. Phys. 7, 211 (2024).

14. S. B. Shim, M. Imboden, P. Mohanty, Synchronized oscillation in coupled nanomechanical oscillators. Science 316, 95–99 (2007).

15. M. H. Matheny, M. Grau, L. G. Villanueva, R. B. Karabalin, M. C. Cross, M. L. Roukes, Phase synchronization of two anharmonic nanomechanical oscillators. Phys. Rev. Lett. 112, 014101 (2014).

16. C. Spiess, S. T?pfer, S. Sharma, A. Kr?i?, M. Cabrejo-Ponce, U. Chandrashekara, N. L. D?ll, D. Riel?nder, F. Steinlechner, Clock synchronization with correlated photons. Phys. Rev. Appl. 19, 054082 (2023).

17. X. Cui, V. Mylnikov, P. Johansson, M. K?ll, Synchronization of optically self-assembled nanorotors. Sci. Adv. 10, eadn3485 (2024).

18. A. Greilich, N. E. Kopteva, V. L. Korenev, P. A. Haude, M. Bayer, Exploring nonlinear dynamics in periodically driven time crystal from synchronization to chaotic motion. Nat. Commun. 16, 2936 (2025).

19. H. Y. Luan, Y. H. Ouyang, Z. W. Zhao, W. Z. Mao, R. M. Ma, Reconfigurable moiré nanolaser arrays with phase synchronization. Nature 624, 282–288 (2023).

20. X. Xiong, C. Wu, F. Blaabjerg, An improved synchronization stability method of virtual synchronous generators based on frequency feedforward on reactive power control loop. IEEE Trans. Power Electron. 36, 9136–9148 (2021).

21. M. Zou, P. Fang, Y. Hou, H. Peng, Investigation on multiple-frequency synchronization experiment of vibration system with dual-rotor actuation. Mech. Syst. Signal Process. 164, 108261 (2022).

22. M. Sueda, H. Mori, T. Kondou, Analytical study of self-synchronization in two unbalanced rotors based on energetic conditions. J. Sound Vib. 521, 116618 (2022).

23. L. Beltramelli, A. Mahmood, P. ?sterberg, M. Gidlund, P. Ferrari, E. Sisinni, Energy efficiency of slotted LoRaWAN communication with out-of-band synchronization. IEEE Trans. Instrum. Meas. 70, 5501211 (2021).

24. S. Watt, M. Kostylev, A. B. Ustinov, Enhancing computational performance of a spin-wave reservoir computer with input synchronization. J. Appl. Phys. 129, 044501 (2021).

25. O. Shoshani, D. Heywood, Y. Yang, T. W. Kenny, S. W. Shaw, Phase noise reduction in an 微機電系統 oscillator using a nonlinearly enhanced synchronization domain. J. Microelectromech. Syst. 25, 870–876 (2016).

26. B. Hu, L. Zhan, S. Sahoo, L. Chen, H. Nian, F. Blaabjerg, Synchronization stability analysis under ultra-weak grid considering reactive current dynamics. IEEE Trans. Ind. Electron. 71, 15220–15223 (2024).

27. D. Pu, R. Huan, X. Wei, Frequency stability improvement for piezoresistive micromechanical oscillators via synchronization. AIP Adv. 7, 035119 (2017).

28. Z. Shi, D. Pu, X. Wang, R. Huan, Z. Jiang, X. Wei, Phase-delay induced variation of synchronization bandwidth and frequency stability in a micromechanical oscillator. Nonlinear Dyn. 105, 2981–2994 (2021).

29. M. C. Cross, Improving the frequency precision of oscillators by synchronization. Phys. Rev. E 85, 046214 (2012).

30. D. K. Agrawal, A. A. Seshia, An analytical formulation for phase noise in 微機電系統 oscillators. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control 61, 1938–1952 (2014).

31. S. Walter, A. Nunnenkamp, C. Bruder, Quantum synchronization of a driven self-sustained oscillator. Phys. Rev. Lett. 112, 094102 (2014).

32. F. Schmolke, E. Lutz, Measurement-induced quantum synchronization and multiplexing. Phys. Rev. Lett. 132, 010402 (2024).

33. A. Roulet, C. Bruder, Quantum synchronization and entanglement generation. Phys. Rev. Lett. 121, 063601 (2018).

34. H. Xiao, H. He, L. Zhang, T. Liu, Adaptive grid-synchronization based grid-forming control for voltage source converters. IEEE Trans. Power Syst. 39, 4763–4766 (2023).

35. M. Rohden, A. Sorge, M. Timme, D. Witthaut, Self-organized synchronization in decentralized power grids. Phys. Rev. Lett. 109, 064101 (2012).

36. A. Pikovsky, M. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences (Cambridge Univ. Press, 2010).

37. M. Tyloo, R. Delabays, P. Jacquod, Noise-induced desynchronization and stochastic escape from equilibrium in complex networks. Phys. Rev. E 99, 062213 (2019).

38. D. S. Goldobin, A. Pikovsky, Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise. Phys. Rev. E 71, 045201 (2005).

39. R. Adler, A study of locking phenomena in oscillators. Proc. IRE 34, 351–357 (1946).

40. H.-C. Chang, X. Cao, U. K. Mishra, R. A. York, Phase noise in coupled oscillators: Theory and experiment. IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 45, 604–615 (1997).

41. N. Patin, L. Vido, E. Monmasson, J.-P. Louis, M. Gabsi, M. Lecrivain, Control of a hybrid excitation synchronous generator for aircraft applications. IEEE Trans Ind Electron 55, 3772–3783 (2008).

42. A. Hajimiri, T. H. Lee, A general theory of phase noise in electrical oscillators. IEEE J. Solid-State Circuits 33, 179–194 (1998).

43. T. H. Lee, A. Hajimiri, Oscillator phase noise: A tutorial. IEEE J. Solid-State Circuits 35, 326–336 (2000).

44. J. Hindes, P. Jacquod, I. B. Schwartz, Network desynchronization by non-Gaussian fluctuations. Phys. Rev. E 100, 052314 (2019).

45. C. Zhou, J. Kurths, Noise-induced phase synchronization and synchronization transitions in chaotic oscillators. Phys. Rev. Lett. 88, 230602 (2002).

46. T. Manzaneque, M. K. Ghatkesar, F. Alijani, M. Xu, R. A. Norte, P. G. Steeneken, Resolution limits of resonant sensors. Phys. Rev. Appl. 19, 054074 (2023).

47. Y. Xu, L. Wang, C. Wang, J. Ren, J. Lv, G. Shao, X. Wei, Frequency stabilization in a pseudo-linear micromechanical parametric oscillator. Int. J. Mech. Sci. 280, 109610 (2024).

48. O. Shoshani, S. Strachan, D. Czaplewski, D. Lopez, S. W. Shaw, Extraordinary frequency stabilization by resonant nonlinear mode coupling. Phys. Rev. Appl. 22, 054055 (2024).

49. X. Li, Positive-incentive noise. IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. 35, 6 (2024).

50. Y. S. Teo, S. Shin, H. Kwon, S.-H. Lee, H. Jeong, Virtual distillation with noise dilution. Phys. Rev. A 107, 022608 (2023).

51. J. Jhawar, R. G. Morris, U. R. Amith-Kumar, M. D. Raj, T. Rogers, H. Rajendran, V. Guttal, Noise-induced schooling of fish. Nat. Phys. 16, 488–493 (2020).

52. C. A. Yates, R. Erban, C. Escudero, I. D. Couzin, C. Buhl, I. G. Kevrekidis, P. K. Maini, D. J. T. Sumpter, Inherent noise can facilitate coherence in collective swarm motion. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 106, 5464–5469 (2009).

53. C. C. Ioannou, V. Guttal, I. D. Couzin, Predatory fish select for coordinated collective motion in virtual prey. Science 337, 1212–1215 (2012).

54. I. Kovacic, M. J. Brennan, The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and Their Behaviour (Wiley, 2011).

55. D. K. Agrawal, J. Woodhouse, A. A. Seshia, Observation of locked phase dynamics and enhanced frequency stability in synchronized micromechanical oscillators. Phys. Rev. Lett. 111, 084101 (2013).

56. Y. Qiao, A. Elhady, M. Arabi, E. Abdel-Rahman, W. Zhang, Thermal noise-driven resonant sensors. Microsyst. Nanoeng. 10, 90 (2024).

57. G. Marghoti, T. L. Prado, M. A. F. Sanjuán, S. R. Lopes, Beat frequency induced transitions in synchronization dynamics. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 138, 108243 (2024).

58. Z. Shi, D. Pu, Q. Lv, R. Huan, X. Wang, Z. Xiao, Z. Jiang, X. Wei, Enhancement of synchronization bandwidth in an arch beam. J. Sound Vib. 545, 117415 (2023).

59. J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, W. L. Smith, R. L. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler, Characterization of frequency stability. IEEE Trans. Instrum. Meas. 20, 105–120 (1971).

60. M. L. Deng, W. Q. Zhu, Stochastic averaging of MDOF quasi integrable Hamiltonian systems under wide-band random excitation. J. Sound Vib. 305, 783–794 (2007).

61. Z. L. Huang, W. Q. Zhu, Stochastic averaging of quasi-integrable Hamiltonian systems under combined harmonic and white noise excitations. Int. J. Nonlinear Mech. 39, 1421–1434 (2004).

62. R. L. Stratonovich, Topics in the Theory of Random Noise (Gordon and Breach, 1963).

63. R. Z. Khasminskii, A limit theorem for the solutions of differential equations with random right-hand sides. Theory Probab. Appl. 11, 390–406 (1966).

64. A. H. Nayfeh, D. T. Mook, Nonlinear Oscillations (Wiley, 2008).

65. Z. Xiao, Z. Shi, X. Wang, X. Wei, R. Huan, Dual-jump amplification in an electric-thermal adjusted arch beam micro-resonator. Sens. Actuators A Phys. 365, 114925 (2024).

66. M. Amabili, P. Balasubramanian, G. Ferrari, Nonlinear vibrations and damping of fractional viscoelastic rectangular plates. Nonlinear Dyn. 103, 3581–3609 (2021).

67. M. Amabili, Nonlinear damping in nonlinear vibrations of rectangular plates: Derivation from viscoelasticity and experimental validation. J. Mech. Phys. Solids 118, 275–292 (2018).

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隨機動力學讀書會

集智俱樂部聯合北京工業大學諸葛昌靖老師和北京化工大學王利老師共同發起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，主讀文獻《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過物理直覺啟發與數學理論推導的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學邏輯結構和知識體系。

本讀書會通過師生領讀，系統化地梳理書中的重要概念，讀完這兩本書，我們將掌握隨機過程的物理意義、基礎理論與實用方法，在隨機性的統一視角下，為跨學科建模應用鋪路架橋。

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