AI在多維度刷新親吻數(shù)紀(jì)錄！中國團(tuán)隊(duì)回答牛頓300年數(shù)學(xué)之問

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數(shù)學(xué)中有一個樸素又深刻的問題，被稱為親吻數(shù)問題（Kissing Number Problem, KNP）：在一顆中心球周圍，最多能緊貼放置多少顆相同的球？

在一維和二維情況下，答案可以簡單求解是 2 和 6。但當(dāng)維度增加到 3 維，問題就變得復(fù)雜起來，一度讓科學(xué)巨匠艾薩克?牛頓和蘇格蘭數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?格雷戈里為其爭論。1694 年，牛頓認(rèn)為三維空間親吻數(shù)問題的答案是 12，格雷戈里認(rèn)為是 13。這個謎團(tuán)持續(xù)了近三百年，直到 1952 年，數(shù)學(xué)界才證明牛頓是對的。傳奇數(shù)學(xué)家保羅?埃爾德什曾言，離散幾何或許就始于這場著名的「12 對 13」之爭。

親吻數(shù)問題的意義遠(yuǎn)不止于數(shù)學(xué)本身，在物理、信息論、材料科學(xué)等領(lǐng)域，它皆有深刻的應(yīng)用價值。例如，在信息編碼中，用最少的比特數(shù)壓縮最多的信息，就與親吻數(shù)和球體堆積這類問題相通。2022 年，數(shù)學(xué)家馬林娜?維亞佐夫斯卡還因?qū)η蝮w堆積問題的貢獻(xiàn)，獲得了菲爾茲獎。

然而，在高維空間中堆疊球體，隨著維度增加，可能的排列方式會呈爆炸式增長。人類在這種巨大組合空間中的處理能力非常有限，幾何直覺也往往并不可靠，甚至可能完全違背實(shí)際情況。

過去近 50 年中，親吻數(shù)構(gòu)造僅有 7 次實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，而且每一次突破幾乎都依賴完全不同的數(shù)學(xué)技巧，難以形成可復(fù)制的研究路徑。

當(dāng)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法遭遇瓶頸，人工智能為這一世界級經(jīng)典難題帶來了方法論層面的轉(zhuǎn)折。

近期，上?？茖W(xué)智能研究院（下稱上智院）、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)的聯(lián)合研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)出一套名為PackingStar 的強(qiáng)化學(xué)習(xí)系統(tǒng)。該系統(tǒng)將高維堆積問題轉(zhuǎn)化為余弦矩陣（描述球心之間幾何關(guān)系的矩陣）上的多智能體博弈學(xué)習(xí)任務(wù)，從而使人工智能得以探索遠(yuǎn)超人類直覺的復(fù)雜空間，并在連續(xù) 7 個維度上刷新了親吻數(shù)世界紀(jì)錄。

從數(shù)學(xué)難題到多智能體游戲

一個偶然的機(jī)會，PackingStar 項(xiàng)目組長馬成棟關(guān)注到親吻數(shù)問題，被其簡潔的表述、明確的答案，以及數(shù)學(xué)命題獨(dú)有的客觀可驗(yàn)證性所吸引。他敏銳地意識到：這一經(jīng)典的高維幾何問題，或許可以通過強(qiáng)化學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行全新的探索與求解。

為了找到親吻數(shù)問題的通用研究路徑，PackingStar 團(tuán)隊(duì)首先回到了問題本身，分析最基本的約束和前提。

親吻數(shù)問題本質(zhì)上是一個「加球」問題，而問題的關(guān)鍵在于：在球盡可能多的前提下，下一個球可以放在哪個位置？

這就相當(dāng)于在坐標(biāo)空間中做選擇題，順著這個思路，團(tuán)隊(duì)順利求解八維以下的親吻數(shù)問題，但有一些注定無法被解決的限制。比如，數(shù)值誤差會隨著球數(shù)越來越多而不斷地傳播、累積，以至于誤差本身都足以破壞整個堆積結(jié)構(gòu)。

那么，有沒有可能簡化這個選擇題？

在親吻數(shù)問題中，兩個球體的原點(diǎn)之間可以形成連線，而兩條連線之間角度的余弦值是有規(guī)律的。團(tuán)隊(duì)意識到，這些余弦值會收斂到一個有限的集合中。

這個發(fā)現(xiàn)至關(guān)重要，因?yàn)樗屟芯繄F(tuán)隊(duì)從「逐個求解球體坐標(biāo)」這一難以并行、計(jì)算量巨大的思路中跳脫出來，將整個問題的建模從坐標(biāo)空間轉(zhuǎn)向余弦空間，這是前人未曾探索過的路徑。

研究團(tuán)隊(duì)引入了余弦值矩陣（Cosine Matrix），將一個非常復(fù)雜的高維幾何問題變成了余弦值矩陣填充問題。

當(dāng)前人工智能擅長的就是依托大規(guī)模并行計(jì)算架構(gòu)，快速處理大量數(shù)據(jù)，從中找到特定模式和規(guī)律。引入余弦值矩陣使所有計(jì)算都被重構(gòu)為矩陣上的并行運(yùn)算，并且?guī)缀醪灰刖日`差，這天然適配了大規(guī)模 GPU 的計(jì)算邏輯，充分釋放了 AI 模型的潛力。

在這個矩陣填充問題中，每一步需要從待選動作集中選取一個條目來填充余弦值矩陣，直到整個矩陣無法再被填充，即在高維空間中學(xué)出一組最優(yōu)的策略。這個過程是不是看起來很熟悉？沒錯，這符合強(qiáng)化學(xué)習(xí)的工作原理，也恰好印證了馬成棟此前的猜想。

研究團(tuán)隊(duì)把余弦值矩陣填充任務(wù)設(shè)計(jì)成一個游戲，用強(qiáng)化學(xué)習(xí)來訓(xùn)練智能體去玩這個游戲。在這個游戲中，智能體作為玩家，通過不斷選擇填充動作、接收環(huán)境反饋，逐步學(xué)會在復(fù)雜的組合空間中做出更優(yōu)的決策。

然而，這個游戲并不簡單，每一步的動作空間都異常巨大并且變化不定，獎勵也非常稀疏，動作策略很難被表征和學(xué)習(xí)，研究團(tuán)隊(duì)嘗試了大量方法來修減候選動作空間。此外，不同的「加球」順序可能會得到完全相同的結(jié)構(gòu)，重復(fù)探索會影響學(xué)習(xí)效率，最終導(dǎo)致 AI 難以學(xué)出好的策略。

在維數(shù)達(dá)到 14 維時，研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)經(jīng)過千百次實(shí)驗(yàn)，仍然沒有復(fù)現(xiàn)出數(shù)學(xué)家的結(jié)果（1932）。這一度使研究陷入僵局，讓研究團(tuán)隊(duì)感到非常沮喪。

突破的契機(jī)，竟源于研究人員與 AI 之間一場特殊的「較量」。

當(dāng) AI 在高維空間中探索時，團(tuán)隊(duì)里的青年科學(xué)家也在并行地審視著這個難題。他們發(fā)現(xiàn)如果手動刪掉一些球，就可以復(fù)原 14 維的經(jīng)典結(jié)果 1932，也就是說有一些球加進(jìn)來之后會破壞整個結(jié)構(gòu)。這意味著 AI 應(yīng)該學(xué)會識別并剔除這些球。

「我們像是與 AI 展開了一場『智力拉鋸戰(zhàn)』。在 AI 探索這個高維難題時，我們也在搜索同一個地方的寶藏。如果我們在某一步比 AI 表現(xiàn)得更好，就會嘗試把這種人類獨(dú)有的直覺轉(zhuǎn)換成算法，再次注入 AI 的血液」，數(shù)學(xué)系出身的團(tuán)隊(duì)核心成員陶兆巍說。

于是，團(tuán)隊(duì)意識到單一智能體不足以完成這項(xiàng)任務(wù)，必須引入一種能夠識別并剔除「問題球」的修正機(jī)制，由此設(shè)計(jì)了另一個智能體，專門模擬人類通過直覺與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行手動修正的操作。兩個智能體形成了相互協(xié)同又彼此制衡的「合作博弈」關(guān)系：

填充智能體負(fù)責(zé)探索與構(gòu)建：通過快速填充余弦值矩陣，填充智能體構(gòu)造出高維空間中球體堆積的初步形態(tài)，并通過強(qiáng)化學(xué)習(xí)不斷優(yōu)化生成策略，但僅依靠填充智能體會產(chǎn)生大量次優(yōu)填充。

修剪智能體負(fù)責(zé)評估與優(yōu)化：次優(yōu)填充就意味著球體堆積結(jié)構(gòu)不夠合理，這時修剪智能體就負(fù)責(zé)識別并去除次優(yōu)填充，再將余弦值矩陣交由填充智能體重新填充，反復(fù)迭代，最終得到最優(yōu)解。

這種雙智能體協(xié)同的設(shè)計(jì)，既融合了人類的結(jié)構(gòu)性直覺，又發(fā)揮了 AI 的搜索與學(xué)習(xí)能力，巧妙的幫助 AI 壓縮了探索空間，提高了樣本質(zhì)量，成為 PackingStar 工作中最為精妙的方法創(chuàng)新。

至此，困擾數(shù)學(xué)界的高維親吻數(shù)問題，被成功轉(zhuǎn)化為一個「多智能體游戲」。

有趣的是，研究團(tuán)隊(duì)驚喜地發(fā)現(xiàn)，在不同高維復(fù)雜結(jié)構(gòu)中（例如 2000 個球和 2400 個球的結(jié)構(gòu)），存在著一些完全相同的、具有良好幾何特性的核心子模塊。這一發(fā)現(xiàn)提示，這些低維且具有普適性的「子結(jié)構(gòu)」或許可以作為破解高維問題的基石，將原本混沌無序的高維空間結(jié)構(gòu)化，從而使其變得可分析、可駕馭。

正是基于這一思路，研究團(tuán)隊(duì)提取了一個關(guān)鍵的子結(jié)構(gòu)，并以其為基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)了 25 至 31 維的突破。

工程優(yōu)化加速科學(xué)發(fā)現(xiàn)

盡管數(shù)學(xué)難題可以被轉(zhuǎn)化為多智能體強(qiáng)化學(xué)習(xí)任務(wù)，但高維問題固有的復(fù)雜性并未因此消失。隨著維度的增加，搜索空間呈指數(shù)級膨脹，系統(tǒng)所需的計(jì)算量也隨之急劇攀升。當(dāng)維度上升至 18 維、19 維時，團(tuán)隊(duì)構(gòu)建的 PackingStar 系統(tǒng)會出現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的明顯下降，探索的步伐在龐大的可能性空間中逐漸放緩。

實(shí)際上，這不是親吻數(shù)問題才有的困境。很多科學(xué)智能（AI for Science）問題都需要在指數(shù)級增長的解空間中尋找最優(yōu)解，因而在研究的擴(kuò)展階段普遍遭遇類似的「維度瓶頸」。

為了讓 PackingStar 項(xiàng)目順利推進(jìn)，上智院首先從整體 GPU 算力池中專項(xiàng)抽調(diào)出穩(wěn)定可靠的算力資源供其使用。而比資源更關(guān)鍵的，是團(tuán)隊(duì)的融合 —— 讓工程側(cè)的「精兵強(qiáng)將」與算法團(tuán)隊(duì)深度合作，讓他們共同理解問題、拆解瓶頸，實(shí)現(xiàn)工程優(yōu)化。

工程優(yōu)化也是過去一年 AI 領(lǐng)域熱議的話題，業(yè)內(nèi)開始探索在 AI Infra 層面為模型優(yōu)化出「額外學(xué)習(xí)空間」：通過算子優(yōu)化、調(diào)度策略升級等方式，提升 AI Infra 的整體效率。在核心算法實(shí)現(xiàn)突破之后，工程層面的深度優(yōu)化已成為推動研究邊界繼續(xù)延伸的鍵。

在 PackingStar 項(xiàng)目中，工程團(tuán)隊(duì)通過優(yōu)化底層算子，大規(guī)模加速了搜索。原本 PackingStar 系統(tǒng)直接調(diào)用了一些 CUDA 原生算子，但通過性能分析，研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)存訪問模式會對大量中間變量進(jìn)行顯存拷貝與冗余讀寫，GPU 的有效利用率較低。為此，他們重寫了定制化的 CUDA Kernel，直接在 GPU 上計(jì)算并原位寫入數(shù)據(jù)。這樣一來，核心計(jì)算鏈路的端到端吞吐效率就提升了數(shù)倍。

另一方面，計(jì)算過程中有些操作對精度要求很高，有些則不需要那么高的精度。研究團(tuán)隊(duì)為此設(shè)計(jì)了混合精度機(jī)制去逼近每一個精度級別的極限，從而大幅提高了計(jì)算效率。

我們可以這么理解工程加速的意義：計(jì)算和智能密不可分。能夠在給定問題下迅速做出最優(yōu)選擇，本身就是智能的重要體現(xiàn)；當(dāng)搜索速度提升數(shù)倍，原本需要三年完成的工作，就可能在一年內(nèi)完成。

除了提升計(jì)算效率，確保程序可靠穩(wěn)定地運(yùn)行對 PackingStar 這種長周期任務(wù)也是非常重要的。千卡集群上，一次中斷就可能讓數(shù)天的計(jì)算進(jìn)度歸零。如果程序在集群上頻繁崩潰，即使單次執(zhí)行速度再快也是反復(fù)運(yùn)行失敗。

因此，工程團(tuán)隊(duì)為 PackingStar 構(gòu)建了容錯機(jī)制 —— 自動 Checkpointing 系統(tǒng)，使程序可以定時滾動存檔，并在出現(xiàn)故障后自動回溯恢復(fù)，確保數(shù)據(jù)零丟失、任務(wù)斷點(diǎn)可續(xù)傳。

這么一頓操作下，PackingStar 的搜索效率提升數(shù)倍，累計(jì)節(jié)省超 10 萬 GPU 卡時。相關(guān)算子與方法已在上智院牽頭建設(shè)的星河啟智科學(xué)智能開放平臺上沉淀為可復(fù)用能力，為更多科學(xué)問題提供智算基礎(chǔ)。

人工智能和科學(xué)行至今日，工程優(yōu)化已不再是配角，而是科學(xué)突破的基礎(chǔ)設(shè)施 —— 以其穩(wěn)定性和效率來對沖科學(xué)發(fā)現(xiàn)的不確定性，加速科學(xué)發(fā)現(xiàn)。

世界級難題的系統(tǒng)性突破

PackingStar 不是唯一一個嘗試用 AI 求解親吻數(shù)問題的研究。Google DeepMind 的 AlphaEvolve 曾刷新 11 維空間中的下界（從 592 提升至 593），對原有構(gòu)型進(jìn)行了局部調(diào)整與修補(bǔ)，但未能給親吻數(shù)問題提供新的求解路徑。

PackingStar 的不同之處在于：它不是基于已有幾何直覺做簡單拓展，而是選擇重新定義問題本身 —— 將高維幾何難題轉(zhuǎn)化為 AI 模型所擅長的代數(shù)計(jì)算問題。這不是工具層面的替換，而是開創(chuàng)了全新的方法論，帶來了 AI for Math 范式的一次前移。

今天，在維基百科上，25 至 31 維空間的親吻數(shù)下界，標(biāo)注著同一個名字：PackingStar。這意味著，一套強(qiáng)化學(xué)習(xí)系統(tǒng)，一次性在連續(xù) 7 個維度上刷新了世界紀(jì)錄，還在廣義親吻數(shù)問題上完成了一系列維度的紀(jì)錄突破，取得了系統(tǒng)性而非單點(diǎn)突破。

同時，研究團(tuán)隊(duì)還在一些維度獲得了更深層的發(fā)現(xiàn)。例如，在 12-15 維中，團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)多個持平紀(jì)錄的「非對稱構(gòu)型」。這超越了人類的幾何直覺。傳統(tǒng)的高維球體堆積的構(gòu)造往往高度依賴于結(jié)構(gòu)的對稱性，而非對稱構(gòu)型是借助 AI 探索發(fā)現(xiàn)的新穎排列方式。

這就像是 AI 為我們打開了一扇觀察高維空間的新窗口，也提醒我們，高維空間遠(yuǎn)比我們想象的更為復(fù)雜多樣。

PackingStar 取得的突破很快引起了當(dāng)代離散幾何與編碼理論領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物、MIT 教授 Henry Cohn 的高度關(guān)注。在 Cohn 的建議下，PackingStar 團(tuán)隊(duì)針對廣義親吻數(shù)問題展開了研究。

廣義親吻數(shù)將研究從「一個單位球面周圍能放置多少個與之相切的單位球」擴(kuò)展到「多個單位球面周圍能放置多少個與之相切的單位球」。PackingStar 團(tuán)隊(duì)在此方向上取得了多項(xiàng)突破，例如，在 14 維與 17 維情況下，打破了「兩球親吻數(shù)」的最佳構(gòu)造紀(jì)錄；在 12 維、20 維與 21 維情況下，打破了「三球親吻數(shù)」的最佳構(gòu)造紀(jì)錄。

值得注意的是，這些由 AI 生成的結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)多樣性極為豐富，包含著數(shù)學(xué)家從未想到過的構(gòu)造方式：有些是低維結(jié)構(gòu)的巧妙拼裝，有些是基于特殊規(guī)則的張量積，有些則對應(yīng)于已知結(jié)構(gòu)的新的分解方式。這不僅豐富了廣義親吻數(shù)研究，還為數(shù)學(xué)家 Cohn 提供了新的思路。

人類和機(jī)器共探科學(xué)的浪漫

PackngStar 項(xiàng)目的意義，遠(yuǎn)不止于為親吻數(shù)問題找到新解，它更是一次完整的 AI for Math 路徑驗(yàn)證：從問題拆解、算法設(shè)計(jì)到工程優(yōu)化，證明了人工智能可以為數(shù)學(xué)注入從無到有的「規(guī)模化探索」的能力。

這個過程不是 AI 的單打獨(dú)斗，而是依托人類與 AI 互促進(jìn)化的科研范式：人工智能在遠(yuǎn)超人類直覺所及的空間中學(xué)習(xí)如何求解問題，人類隨后對其產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行解讀與抽象，從中提煉新的數(shù)學(xué)規(guī)律 —— 兩股力量循環(huán)往復(fù)、彼此反哺，最終凝結(jié)為人機(jī)協(xié)作的完整閉環(huán)。

作為「科學(xué)的語言」，數(shù)學(xué)為物理、化學(xué)等眾多學(xué)科提供了基本的描述和分析工具 —— 當(dāng)人工智能能夠介入數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系中與人類協(xié)同推理，它便會在更多科學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮更大作用。

今天的科學(xué)智能，正經(jīng)歷一場深層躍遷：從依賴既有數(shù)據(jù)和信息解決已定義問題，走向圍繞復(fù)雜科學(xué)問題構(gòu)建探索系統(tǒng)。人工智能已成為與科學(xué)家并肩的探索者 —— 當(dāng)科學(xué)家有了好的想法，人工智能能夠以其大規(guī)模探索能力，幫助科學(xué)家高效地探索未知宇宙。

這本身，就是一種人類和機(jī)器共同探索科學(xué)的浪漫。

當(dāng)科學(xué)發(fā)現(xiàn)不再依賴單點(diǎn)英雄的橫空出世，而是成為人機(jī)協(xié)同、平臺支撐、跨界融合下的系統(tǒng)涌現(xiàn)，我們正在見證：科學(xué)發(fā)現(xiàn)，從天才的靈光一閃，轉(zhuǎn)變?yōu)槿藱C(jī)共舞的必然成果。

為了回答牛頓三百年前的一個問題，一群中國青年讓 AI 學(xué)會了創(chuàng)造高維幾何結(jié)構(gòu)?？蒲屑o(jì)錄短片《Packing Star》，帶你回到 1694 年，也帶你遨游數(shù)學(xué)宇宙。

（PackingStar 團(tuán)隊(duì)的科研青年們，從左至右為：劉明灝、李鵬宇、馬成棟、陶兆巍、陳浩鈞、毛子皓）