何新早年數(shù)理札記（12）

馬克思數(shù)學(xué)手稿研究：論微分流數(shù)法與減法

一
馬克思《數(shù)學(xué)手稿》（參看北大版）描述古典微積分方法如是說(shuō)：
“? 先 取 差 （ D i f f e r e n t i a t i o n ） ， 然 后 再 把 它 揚(yáng) 棄 ， 這 樣 在 字 ? 上就 導(dǎo) 致 ? 。
理 解 微 分 運(yùn) 算 時(shí) 的 全 部 困 難 （ 正 象 理 解 否 定 之否 定 本身 時(shí) 那 樣 ） ， 恰 恰 在 于 要 看 到 微 分 運(yùn) 算 是 怎 樣 區(qū) 別 于 這 樣 的 簡(jiǎn) 單 ?續(xù) （何新按：指先取差，然后歸零）并 因 此 導(dǎo) 出 實(shí) 際 結(jié) 果 的 。”
注意馬克思在這里提出了“取差”這個(gè)與減法相關(guān)的概念。 （ D i f f e r e n t i a t i o n ）

二
實(shí)際上，微分運(yùn)算建立在動(dòng)態(tài)減法一一亦即牛頓所謂“流數(shù)法”，"求差"或者“取差”的概念之上：
1. 取差（Differenz）：
取曲線上兩點(diǎn)，縱坐標(biāo)之差 Δy，橫坐標(biāo)之差 Δx
2. 求差商（Differenzenquotient）：
\frac{Δy}{Δx} = \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx}
（注意這里用到了減法運(yùn)算）
3. 求微分（Differentiation）：
? 讓 Δx 無(wú)限趨近于 0（但不為零）
? 研究這個(gè)"差商"的極限 → 得到導(dǎo)數(shù) $f'(x)$
——這種流（動(dòng)）取差方法，就是微分求解法。

三
馬克思使用的“取差”Differentiation 這個(gè)概念，詞源與德語(yǔ)Differenz（差，即減法） 有深刻聯(lián)系。德語(yǔ)Differenz （陰性）這個(gè)詞，它的拉丁語(yǔ)同源詞是 differentia（陰性），是由拉丁語(yǔ)動(dòng)詞 differre（分離、區(qū)分）衍生而來(lái)。
拉丁語(yǔ)#解放軍南海開(kāi)訓(xùn)對(duì)周邊國(guó)家有何影響#動(dòng)詞 differre = dis-（分離） + ferre（承載）→"使彼此分開(kāi)"= 差異化= 減法。

四
事實(shí)上，德語(yǔ)詞 Differen-tiation 就是微分（研究微小差異的極限進(jìn)程）概念。
[解釋：德語(yǔ)Differentiation作為陰性名詞，作為數(shù)學(xué)概念的核心釋義就是“微分法”，其本質(zhì)是通過(guò)研究函數(shù)自變量與因變量的微小差值（無(wú)窮小變量），再經(jīng)由除法的極限運(yùn)算得到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，亦即“研究微小差異的極限進(jìn)程”。]
所以，在拉丁語(yǔ)、德語(yǔ)及英語(yǔ)中，“微分法”與“減法”兩詞之詞根皆具同源性，只是二者有靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的區(qū)別。
Differenz ，是靜態(tài)的"差值"，指算術(shù)減法（如 7 - 3 = 4）。
Differen～tiation ，是動(dòng)態(tài)的"差異化流程"，指流（動(dòng)）數(shù)法，求極限運(yùn)算，求瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）。

結(jié)論：微分必須使用減法除法作為工具，其本質(zhì)是觀察數(shù)量變動(dòng)過(guò)程而求“差值”，不斷趨近于零（但永不是零）的極限性思想，這就是超越減法的數(shù)學(xué)分析概念。

因此簡(jiǎn)單說(shuō)：沒(méi)有"差"就沒(méi)有微分。但微分不是靜態(tài)差，而是"差"的動(dòng)態(tài)演變。

【附注】
在一元函數(shù)微積分的范疇內(nèi)，導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義就是瞬時(shí)變化率。
從馬克思《數(shù)學(xué)手稿》的運(yùn)算邏輯來(lái)看：導(dǎo)數(shù)是“取差（\Delta y,\Delta x）—求差商（\Delta y/\Delta x，平均變化率）—取極限值（\Delta x\to0）”的結(jié)果。這個(gè)極限值精準(zhǔn)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化快慢與方向，對(duì)應(yīng)于牛頓流數(shù)法中的“流數(shù)”概念。
還應(yīng)指出的是，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)等概念，本質(zhì)是函數(shù)在特定維度或方向上的瞬時(shí)變化率，是這一核心定義的延伸。