圓周率 源自圓的幾何本質(zhì),是刻畫圓、球體與橢圓幾何性質(zhì)的核心常數(shù)。正因如此,它極其頻繁地出現(xiàn)在幾何與三角學(xué)的各類公式之中。不過,如果你以為 只屬于圓,那就大錯特錯了。其實,物理學(xué)、微積分甚至更宏大的空間分析領(lǐng)域,其底層邏輯都與 密不可分。
unsetunset幾何學(xué)與三角學(xué):高維空間的降維打擊unsetunset![]()
圓的面積等于 π 乘以陰影正方形的面積;單位圓的面積為 π。
從平面的圓與橢圓,到立體的球體、圓錐與環(huán)面,這些由圓形衍生而來的幾何體,其面積與體積公式無一例外均以 為核心常量。我們先復(fù)習(xí)幾個最基礎(chǔ)的公式:
半徑為 的圓,周長為 ,面積為
長半軸為 、短半軸為 的橢圓,面積為
半徑為 的球體,體積為 ,表面積為
這里要留意,這些看似孤立的公式,其實不過是 維球體體積與 維球面表面積公式在低維空間里的“特例”。換句話說,我們熟悉的三維球體與二維圓形,僅僅是高維空間中同類圖形的極簡形態(tài)。即便我們將視線拓展到難以想象的高維世界, 依舊穩(wěn)穩(wěn)占據(jù)著核心地位。
更有趣的是,除了標(biāo)準(zhǔn)的圓形,數(shù)學(xué)中還存在其他特殊的“定寬曲線(curve of constant width)”。根據(jù)巴比爾定理(Barbier's theorem),所有定寬曲線的周長,恰好都等于自身寬度與 的乘積。
![]()
我們可以用兩條平行支撐線之間的距離,來度量勒洛三角形(Reuleaux triangle)的寬度。這個距離不會隨支撐線的朝向發(fā)生改變,換句話說,正因為具備這一特性,勒洛三角形是一種定寬曲線(curve of constant width)。![]()
以著名的勒洛三角形(以等邊三角形的三個頂點為圓心、邊長為半徑作三段圓弧拼接而成)為例。在相同寬度下,它擁有最小的面積,而圓的面積則是最大的。不僅如此,空間中甚至還存在非圓形的光滑曲線,乃至代數(shù)等寬曲線。
在微積分中,用于計算圓形衍生圖形周長、面積與體積的定積分,其結(jié)果也必然包含 。比如,計算單位圓上半圓面積的積分可以這樣表示:
式中的 其實是由勾股定理推導(dǎo)而來的,它對應(yīng)著上半圓的縱坐標(biāo)高度,積分運算的結(jié)果自然就是半圓的面積。正是因為這類積分的存在,我們將 叫作代數(shù)周期(algebraic period)。
unsetunset角度的度量:三角函數(shù)的基石unsetunset
既然講到幾何,自然繞不開三角函數(shù)及其對角度的度量。數(shù)學(xué)家們通常不太喜歡用度數(shù),而是更偏愛使用弧度(radian)作為測量單位。
在這個體系中, 扮演著至關(guān)重要的角色:一個完整圓周對應(yīng)的圓心角恰好為 弧度。換算下來,180° = 弧度,1° = 弧度。
![]()
正弦、余弦函數(shù)的周期為 2π。
我們常見的三角函數(shù),都具有以 的倍數(shù)為單位的周期。比如正弦和余弦函數(shù)的周期均為 。既然如此,對于任意角度 和任意整數(shù) ,必然滿足如下極其對稱的周期性恒等式:
unsetunset向量分析:統(tǒng)治物理場的底層法則unsetunset
常數(shù) 在向量分析(vector calculus)與勢論(potential theory)中可謂無處不在。從庫侖定律、高斯定律,再到愛因斯坦場方程,你都能覓得它的蹤影。
拿二維空間中最直白的牛頓勢(Newtonian potential)來說。它描述的是原點處一個點源的勢。其向外的單位通量可以表示為:
公式里那個看似不起眼的 極其關(guān)鍵,它確保了 能夠成為二維泊松方程(Poisson equation)的基本解。當(dāng)我們把目光投向更高維度時,就需要用單位 維球面的體積來進(jìn)行歸一化。比如三維空間中的牛頓勢:
你看,分母里的 ,其實正是單位二維球面(即三維空間標(biāo)準(zhǔn)球面)的表面積。
unsetunset全曲率:曲線旋轉(zhuǎn)的秘密unsetunset![]()
這條曲線的全曲率為 ,旋轉(zhuǎn)數(shù)為 3;它繞點 的環(huán)繞數(shù)為 2,并包含一個不包圍點 的額外環(huán)路。 (注:旋轉(zhuǎn)數(shù)指曲線切線方向轉(zhuǎn)過的總?cè)?shù),即 ;而環(huán)繞數(shù)專指曲線圍繞空間中某一特定點轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。)
在微分幾何領(lǐng)域,一條光滑平面曲線的全曲率(total curvature),衡量的是它逆時針旋轉(zhuǎn)的總幅度。簡單來說,就是將帶符號的曲率(curvature)對弧長進(jìn)行積分:
對于一條閉合曲線而言,不管它怎么扭曲,這個積分的結(jié)果始終為 (這里的 是一個整數(shù),被稱為旋轉(zhuǎn)數(shù)或指數(shù))。進(jìn)一步講 , 等價于原曲線經(jīng)過弧長參數(shù)化后,其速端曲線(hodograph)繞原點的環(huán)繞數(shù)。
來源:遇見數(shù)學(xué)
編輯:韶音
轉(zhuǎn)載內(nèi)容僅代表作者觀點
不代表中科院物理所立場
如需轉(zhuǎn)載請聯(lián)系原公眾號
![]()
特別聲明:以上內(nèi)容(如有圖片或視頻亦包括在內(nèi))為自媒體平臺“網(wǎng)易號”用戶上傳并發(fā)布,本平臺僅提供信息存儲服務(wù)。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.