監(jiān)測(cè)預(yù)警基礎(chǔ)16-季節(jié)指數(shù)的另一種計(jì)算方法：移動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法

系列簡(jiǎn)介

這是我們一系列原創(chuàng)技術(shù)貼，從易到難，每天學(xué)習(xí)一點(diǎn)。所有內(nèi)容均為疾控?cái)?shù)據(jù)分析、科研論文相關(guān)，或者說(shuō)很多和現(xiàn)在的熱門(mén)監(jiān)測(cè)預(yù)警相關(guān)，所以我們這個(gè)系列就叫“監(jiān)測(cè)預(yù)警基礎(chǔ)”。

今天是第16節(jié)，內(nèi)容是另外一種季節(jié)指數(shù)的計(jì)算方式。

上一篇介紹的基礎(chǔ)季節(jié)指數(shù)法有個(gè)致命前提：數(shù)據(jù)沒(méi)有明顯的長(zhǎng)期趨勢(shì)。

現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景當(dāng)當(dāng)數(shù)據(jù)存在長(zhǎng)期趨勢(shì)時(shí)，用簡(jiǎn)單的“同月平均/總平均”來(lái)計(jì)算季節(jié)指數(shù)會(huì)失真。這是因?yàn)殚L(zhǎng)期趨勢(shì)會(huì)“污染”季節(jié)指數(shù)的計(jì)算。
具體來(lái)說(shuō)，如果數(shù)據(jù)有上升趨勢(shì)，那么后期月份的數(shù)值普遍較高，前期月份的數(shù)值普遍較低。
這樣，在計(jì)算同月平均時(shí)，后期的高值會(huì)拉高該月份的平均值，而前期的低值會(huì)拉低該月份的平均值。但注意，由于趨勢(shì)的存在，同月平均實(shí)際上包含了趨勢(shì)的影響，而總平均也是包含趨勢(shì)的。
然而，季節(jié)指數(shù)應(yīng)該只反映季節(jié)性波動(dòng)，不應(yīng)該包含趨勢(shì)成分。
所以，我們需要一種方法將趨勢(shì)從數(shù)據(jù)中剔除，然后再計(jì)算季節(jié)指數(shù)。

移動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法的本質(zhì)是：先通過(guò)移動(dòng)平均估計(jì)趨勢(shì)成分，然后從原始數(shù)據(jù)中剔除趨勢(shì)，得到季節(jié)成分和隨機(jī)成分的混合，最后通過(guò)平均來(lái)消除隨機(jī)成分，得到純季節(jié)成分。具體步驟的數(shù)學(xué)含義如下：

第一，計(jì)算12個(gè)月移動(dòng)平均：因?yàn)榧竟?jié)周期是12個(gè)月，所以用12個(gè)月的平均可以消除季節(jié)性，得到趨勢(shì)成分（T）和部分隨機(jī)成分（I）。注意，移動(dòng)平均的期數(shù)必須等于季節(jié)周期長(zhǎng)度，這樣才能完全消除季節(jié)性。

第二，中心化移動(dòng)平均：由于12是偶數(shù)，12個(gè)月移動(dòng)平均值對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)是中間兩個(gè)月的中間點(diǎn)（比如第6和第7個(gè)月之間，即6.5），而我們的數(shù)據(jù)是月度數(shù)據(jù)，所以需要將兩個(gè)連續(xù)的移動(dòng)平均再平均，將其對(duì)齊到具體的月份（比如第7個(gè)月）。這樣得到的中心移動(dòng)平均（CMA）就是趨勢(shì)成分（T）的一個(gè)估計(jì)。

第三，計(jì)算比值（原始值/中心移動(dòng)平均）：原始數(shù)據(jù)（Y）可以分解為趨勢(shì)（T）、季節(jié)（S）和隨機(jī)（I）成分。在乘法模型中，Y = T × S × I。我們用CMA估計(jì)了T，那么Y / CMA = (T × S × I) / T = S × I。這個(gè)比值就是季節(jié)成分和隨機(jī)成分的混合。

第四，計(jì)算同月平均比值：對(duì)每年的同一月份的比值求平均，可以消除隨機(jī)成分（因?yàn)殡S機(jī)成分的期望為0，或者假設(shè)隨機(jī)成分的均值為1），得到純季節(jié)成分（S）的估計(jì)。

第五，調(diào)整季節(jié)指數(shù)：由于每個(gè)月的季節(jié)指數(shù)是相對(duì)于趨勢(shì)的比值，我們希望全年的季節(jié)指數(shù)平均值為1（或總和為12，對(duì)應(yīng)12個(gè)月）。所以通過(guò)調(diào)整系數(shù)，使得12個(gè)月的季節(jié)指數(shù)總和為12，即平均值為1。

這樣，我們就得到了剔除趨勢(shì)后的季節(jié)指數(shù)，它反映了在排除長(zhǎng)期趨勢(shì)后，各月份相對(duì)于趨勢(shì)的平均波動(dòng)幅度。

為什么這種方法能更準(zhǔn)確地反映季節(jié)性？因?yàn)樗谟?jì)算季節(jié)指數(shù)之前，先去除了長(zhǎng)期趨勢(shì)的影響。這樣，無(wú)論數(shù)據(jù)是上升還是下降趨勢(shì)，計(jì)算出來(lái)的季節(jié)指數(shù)都只反映季節(jié)性的相對(duì)強(qiáng)度，而不受趨勢(shì)干擾。

基本步驟說(shuō)明如下：

第一，計(jì)算移動(dòng)平均值(如果是季度數(shù)據(jù)，則采用4項(xiàng)移動(dòng)乎均，月份數(shù)據(jù)則采用12項(xiàng)移動(dòng)平均)，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行中心化處理，也就是將移動(dòng)平均的結(jié)果再進(jìn)行一次二項(xiàng)移動(dòng)平均，即得出中心化移動(dòng)平均值(CMA).

第二，計(jì)算移動(dòng)平均的比值，也稱(chēng)為季節(jié)比率，即將序列的各觀察值除以相應(yīng)的中心化移動(dòng)平均值，然后計(jì)算出各比值的季度(或月份)平均值。

第三，季節(jié)指數(shù)調(diào)整。由于各季節(jié)指數(shù)的平均數(shù)應(yīng)等于1或100%，若根據(jù)第2步計(jì)算的季節(jié)比率的平均值不等于1，則需要進(jìn)行調(diào)整。具體方法是將第2步計(jì)算的每個(gè)季節(jié)比率的平均值除以它們的總平均值。

下面通過(guò)實(shí)際例子說(shuō)明季節(jié)指數(shù)的計(jì)算過(guò)程，有一份2020-2025年每月病例數(shù)的例子，操作步驟如截圖所示：

我們?cè)偻ㄟ^(guò)畫(huà)圖理解一下這幾個(gè)數(shù)據(jù)和操作，就很清楚了：

紅色線（病例數(shù)）：原始序列 Y = T × S × I

綠色線（CMA）：趨勢(shì)成分 T

紫色線（比值）：季節(jié)+隨機(jī)成分 S × I

藍(lán)色線（季節(jié)指數(shù)）：純凈季節(jié)成分 S

編輯：普通疾控人 | 審核：詩(shī)酒趁年華

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