用新不變量區分97%的復雜結并將規模延伸至600個交叉

編輯丨%

從電腦線纜的纏繞到貓咪打亂的針織籃子，結在日常生活中隨處可見。它們也滲透在科學中，出現在 DNA 的環狀結構、纏結的聚合物鏈和旋轉的水流中。在純粹數學中，結是拓撲學許多核心問題的關鍵。

然而，結理論家們仍然在處理最基本的問題：如何區分兩個結。

即使兩個復雜結看起來完全不同，僅憑外觀也很難判斷它們是否有相同的結構。這個兩個結也許可以通過移動一些線將其中一種變為另一種。

在過去的一個世紀里，結理論家發展出一套清晰但不完美的區分結的工具。這些工具稱為結不變量，它們各自測量結的某個方面——可能是由交織的線所形成的圖案，或是周圍空間的拓撲結構。如果用不變量測量兩個結的結果不同，就證明了結是不同的。但反過來也不總是成立：如果不變量給出相同的結果，結可能是相同，也可能不同。

有些不變量比其他不變量更擅長區分結，但存在權衡：這些更強的不變量往往難以計算。

當線交叉到 15~20 次時，許多不變量開始失效——要么無法區分許多結，要么計算變得太難。

圖示：Peter Guthrie Tait 的一頁論文，其中區分了 10 個交叉的結。

但如今，荷蘭格羅寧根大學的 Bar-Natan 和 Roland van der Veen 提出了一種新的結不變量，它不需要數學家在兩害之間做選擇：它既強大又易于計算。

這種結合了強度和速度的特性意味著數學家們可以探究以前遠超其能力范圍的結。對于具有多達 300 個交點的結，計算新的不變量非常容易，而 Bar-Natan 和 van der Veen 甚至已經計算了具有超過 600 個交點的結的不變量的一些方面。

對于每一個結，不變量會輸出一個色彩繽紛的六邊形“二維碼”，其對稱性和精致細節如同雪花一般。數學家們希望這些復雜的圖案能引導他們發現單個結更深層次的同調特征。

一桶繩結

考慮一個游戲，畫一個結，并嘗試將它的每一根線段染成紅色、黃色或藍色。規則是必須至少使用每種顏色一次，并且在每一個交叉點，要么三種顏色都出現，要么只有一種顏色出現。有些結可以這樣做，但有些則不行。

圖示：繩結上色的兩種示例。

無論如何進一步纏結任何一個給定的結，如果它最初是“三色可染”的，那么它將保持這種狀態。同樣，不是三色可染的結將保持不變。這使得三色染法成為結的一個不變量。

在過去的一個世紀里，結理論家們已經提出了數百種不變量。利用這些工具，他們成功地將超過 20 億種 20 個或更少交叉的結進行了分類——考慮到可計算且強大的不變量稀缺，這無疑是一項英雄般的努力。

打結的高速通道

Bar-Natan 與 van der Veen 是兩位擅長編程的理論家。，前者在二十多年前發現了新不變量。當時他試圖理解帶狀結——這種結沿著穿過自身的帶狀邊界運行。這項工作使他重新審視了被稱為康采維奇積分的不變量，它包含了許多其他結不變量。數學家們對這個不變量抱有極高期望，他們預測該不變量能夠區分所有結。

圖示：越來越復雜的“方形編織”結的 QR 碼。

于是，Bar-Natan 開始嘗試用更易計算的不變量去逼近 Kontsevich integral，同時盡量保留其中有價值的信息。理論上，確實存在一串自然遞進的不變量，它們能捕捉 Kontsevich integral 中越來越多的細節；但除了其中第一個成員之外，沒人知道怎樣高效地把其余不變量完全算出來。

2015 年，在奧胡斯大學的一場講座上，Bar-Natan 發出了一份手寫講義，底部用大號洋紅色斜體寫著“Help Needed!”。坐在臺下的 Van der Veen 接下了這個呼喚。兩人一起嘗試搞清楚，怎樣越過這一串不變量中的第一個。

他們先從這串不變量中的第一個開始，并決定推廣其中一種方法，把它表述成了“車流”的語言。設想把一個結看成一條單行高速公路，你把這條高速公路在某處剪開，于是它有了起點和終點；再設想在每兩個交叉點之間都有一座城市。如果一輛車從高速起點出發，它會沿途經過每座城市一次，然后離開終點。

圖示：Bar-Natan 和 Van der Veen 提出的裁剪法。

為了構造亞歷山大多項式，可以想象在每個交叉點上有一條從立交橋通向下方車道的可選匝道。當車到達立交橋時，它有某個概率——記作 xxx——選擇下匝道，而不是繼續走立交橋本身。（真正的設定要更復雜一些，有時還會涉及 xxx 的倒數。）這時車并不一定會恰好經過每座城市一次。

Bar-Natan 和 van der Veen 覺得，也許可以為不變量序列中的第二步寫出一個類似公式，只不過要讓兩種車在下匝道上的概率不同，比如一個是 x，另一個是 y。但盡管嘗試了很多次，他們始終想不出一個可行的交通模型。

直到有一天，他們從亞原子粒子的數學中得到了啟發。就像粒子可以彼此結合或分裂成其他粒子一樣，Bar-Natan 和 van der Veen 設想兩種車有時會合并成第三種交通工具——好像一輛車被另一輛車拖著走。兩輛車會作為一個整體一起在高速上行駛，之后又可能再次分開，各走各的路。

圖示：擁有 300 個或更多交叉的幾個結的 QR 碼。

Bar-Natan 和 van der Veen 覺得自己已經找到正確的設定，但他們仍不知道如何把所有交通函數組合起來，直接生成一個結不變量。盡管如此，這個設定至少給了他們一種關于不變量“應該長什么樣”的直覺。于是他們采用了一種老辦法：先寫下一個結構正確的公式，再調整其中的系數，讓它在結的線股被移動時仍然保持不變。

某種意義上，這個結果是他們硬試出來的。

糾纏在一起的猜想

雖然這個多項式看起來很雜亂，但它表現出驚人的能力。例如，對于 18 個交叉的結，它可以區分超過 97% 的情況；相比之下，Jones polynomial 只能達到約 42%，而 Alexander 多項式約為 11%。與此同時，它仍然可以高效計算，這種組合在結理論中極為罕見。

更進一步，這個不變量的系數可以被繪制成熱圖，從而生成前述的“二維碼”。只要兩個結的圖案不同，就可以確定它們不同。

研究者認為，這一工具的意義不止于分類。它可能還與更深層的拓撲結構相關，例如結的虧格（genus），并有望提供新的下界估計。此外，他們猜測這一不變量可能等價于 Kontsevich 積分的某一近似形式（所謂“two-loop polynomial”）。如果這一點被證明成立，將意味著這一工具在理論上的地位將進一步提升。

盡管如此，這項工作仍未結束。作者自己也承認，他們目前可能只是“闖入了故事的中段”，對其完整結構的理解仍然不充分。但可以確定的是，這一方法打開了一條新的路徑：通過可計算的結構去逼近最強大的拓撲不變量。

https://www.quantamagazine.org/a-powerful-new-qr-code-untangles-maths-knottiest-knots-20260422/