數學的上帝粒子！一個運算符能導出所有基本函數

來源：機器之心

僅用一個簡單二元運算符加上常數 1，就能推導出現代科學計算器上的所有基本函數了？

最近，計算機科學領域被一個新研究打破了認知。

人們認為，這種能將復雜數學系統極度簡化的底層突破極具革命性。該論文的作者 Andrzej Odrzywo?ek 來自波蘭雅蓋隆大學（Uniwersytet Jagielloński）。

• 論文標題：All elementary functions from a single operator

• 論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.21852v2

在數字電路的世界里，有一個廣為人知的奇跡：NAND 門。只需要這一種雙輸入邏輯門，就能搭建出任何布爾電路。整個計算機的底層邏輯，全部可以由同一種基本單元堆疊而成。

1913 年 Henry Sheffer 發現的「Sheffer 豎線」，揭示了一個令人震撼的事實：看似紛繁復雜的數字邏輯世界，本質上只有一個原子。

那數學呢？

論文作者 Andrzej Odrzywo?ek 嘗試將繁雜的數學運算符徹底拆解，并且成功找到了數學的「上帝粒子」。

這可能是解構現有數學運算的開始。

嘗試「拆解計算器」

論文的方法是：從一張標準的科學計算器功能清單出發 —— 包含 36 個原語（命名常量、一元函數和二元運算符），然后逐一進行「消融測試」：每次移除一個元素，檢驗剩余集合是否仍能重建所有原始功能。

這個過程并非一帆風順。論文將縮減過程記錄為一個遞減序列：

• Calc 3：6 個原語（取反、倒數、exp、ln、加法），首次超越了 Wolfram Language 的指令集

• Calc 2：進一步縮減至 3 個原語（exp、ln、減法）

• Calc 1：換了一條路，使用二元冪運算及其逆（二元對數）作為基礎，需要 e 或 π 作為終端常量

• Calc 0：將常數 e 吸收進 exp 函數本身，僅剩 3 個原語

每一步縮減都讓「單一運算符可能存在」的猜想變得更加可信。最終，在 Calc 0 的啟發下，研究者開始枚舉初等二元函數作為候選單運算符，配合同樣生成的常數逐一測試。

經過大量失敗和若干誤報之后，他找到了答案：

這個被命名為EML（Exp-Minus-Log）的雙輸入運算符，配合常數 1，構成了完整的初等函數基礎。

換句話說，一臺只有兩個按鈕 ——EML 和 1—— 的計算器，能完成今天任何科學計算器所能做的一切。

EML 并非唯一解。論文還報告了它的兩個「近親」：

EDL：，配常數 e

EML：，配常數 -∞

EML 生萬物

理解 EML 的威力，關鍵在于看它如何逐層構建出那些我們熟悉的數學對象。

最直觀的例子從深度 1 開始：

把 y 固定為 1，ln (1)=0 ，于是 。指數函數就這樣出來了。

自然對數稍復雜一些，需要嵌套三層：，展開后等價于 。看起來繞了一大圈，但在 EML 的語法體系里，這只是三個節點的二叉樹。

更令人印象深刻的是，EML 能夠生成那些「不可能」的東西。虛數單位 i、圓周率 π、自然常數 e，全部可以從 EML + 1 推導出來。以 i 為例：通過 ln (-1) 在復平面上取主值得到 iπ ，再結合其他已構建的常量即可分離出 i 本身。三角函數則通過歐拉公式 從復指數中自然涌現。

上圖展示了完整的「系統發育樹」（phylogenetic tree）：從 EML 這個「最后共同祖先」（LUCA）出發，螺旋展開，每一個箭頭代表一次 EML 組合操作，逐步衍生出全部 36 個原語。粗箭頭標記的是直接由 EML 和 1 構成的表達式，細箭頭則依賴中間產物。

在形式語言層面，EML 表達式的文法簡潔到令人難以置信：

這意味著每一個初等函數表達式，本質上都是一棵由完全相同的節點構成的滿二叉樹。

不同函數所需的樹深度差異很大：指數函數只需深度 1，而乘法則需要深度 8。大多數常用數學函數落在深度 5–9 的區間。這種深度的參差反映了不同函數在 EML 表示下的「編碼距離」。

從數學到機器學習

EML 可能在機器學習領域有著影響力巨大的潛在應用。

現代符號回歸（Symbolic Regression）方法試圖從數據中發現閉式表達式（closed-form formula），但其搜索空間通常涉及多種異構算子，包含加減乘除、三角函數、指數對數等等。算子集選少了可能不完備，選多了又會讓搜索空間爆炸。

EML 提供了一種全新的思路：既然所有初等函數都可以用同一種節點表示，那么搜索空間就變成了統一的二叉樹結構。

論文作者將這一想法付諸實踐。他構造了參數化的「主公式」（master formula）：將 EML 樹的每個輸入端替換為線性組合 ，其中 作為可訓練參數。通過 softmax 將三組系數歸一化，使得每個節點可以在「輸出常數 1」「傳遞輸入變量 x」和「傳遞子樹結果 f」之間切換。

實驗結果：

• 深度 2：100% 成功率，隨機初始化即可精確恢復目標函數

• 深度 3–4：約 25% 成功率

• 深度 5：低于 1%（448 次嘗試中未見成功）

• 深度 6：未觀察到成功恢復

但當權重從正確值附近加入高斯噪聲時，優化器在 100% 的運行中都能收斂回精確值，即使對于深度 5–6 的樹也是如此。這說明 EML 樹的正確參數盆地（basin of attraction）確實存在，但問題在于隨機初始化很難進入這一范圍。

一旦訓練成功，權重的「硬化」（hardening）過程會將浮點參數 snap 到精確的二進制值（0 或 1），此時均方誤差降至機器精度量級（~10?32），意味著模型精確恢復了閉式表達式。

這帶來了一種可能性：可解釋的符號發現。

傳統神經網絡的內部機制是不透明的黑箱，而 EML 樹在訓練成功后可以直接被「讀」出來，每一棵訓練好的樹都對應一個人類可讀的數學公式。

論文作者在文章結尾坦言，EML 可能只是冰山一角。初等函數這個看似龐雜的家族，其內部的統一性遠超我們的想象。

這一只有兩個按鈕的計算器，也許比我們以為的要強大得多。

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