從切蘋果到量子臨界點：“怎么切”為何如此重要？

糾纏熵通常被當作觀察量子臨界性的窗口，但這扇窗口看到什么，竟然和“怎么切”密切相關。我們近期發表在Physical Review Letters上的研究發現，不同的糾纏切割方式會在切割邊界上誘導出不同的低能結構，因而讓糾纏熵混入額外的邊界信息。換句話說，糾纏切割有時并不只是數學步驟，它在物理上可以等效為一條邊界。

撰文|朱彥璋、王哲（西湖大學物理系 量子多體計算實驗室 ）

大家可能見過這樣一個小實驗： 把一個蘋果 攔腰橫切 ，切面會露出一個清晰的五角星 ； 如果換個方向切，這顆 “ 星 ” 就 不見 了。 蘋果本身沒有變，變的只是切割方式，但我們觀察到的結構卻完全不同。 這個簡單的例子揭示了一個常被忽略的事實：當一個系統的內部結構足夠復雜時，我們如何切割、如何觀察，會直接影響我們 能夠 看到的結構。

圖一：橫切蘋果的“五角星”

糾纏與切割

在量子物理中，糾纏 被 用來描述 復合 系統 內部各部分之間 的量子關聯。為了研究這種關聯，物理學家通常把系統 劃分成兩個 部分 ， 通過 對 其中一部分 的自由度 求偏跡 （ partial trace ） ， 從而 提煉出 另一部分 的 狀態 ， 并用一個量來衡量 這兩部分 之間剩下多少關聯，這個量就是糾纏熵 （ entanglement entropy ） 。在大量模型中，人們發現，當體系接近量子相變點時，糾纏熵的變化方式往往具有普適性，能夠反映體系的臨界行為，因此糾纏逐漸被當作一種探測體相性質的重要工具 ，尤其是在一些非常規的量子相變中[1]。在這一過程中，一個幾乎被默認接受的前提是：只要體系足夠大，糾纏 熵就 能很好地 反映體相性質，而不依賴于具體的 二分 切割方式。

近年來，對二維量子磁體的研究發現了一個耐人尋味的現象：在同一個量子臨界點上，僅僅改變糾纏切割的方向，就可能得到不同的糾纏標度行 為 。有些切割方式看起來與理論預期高度一致，而有些則明顯偏離[2]。這就像是在研究同一個蘋果，卻因為切法不同，有時看到五角星，有時卻什么也看不到。這些差異究竟意味著什么？ 是有的切割方式未能 反映量子系統的性質，還是 有的 切割方式本身引入了額外的信息？

要回答這個問題，關鍵在于認識到一件事：糾纏切割雖然不會改變體系的哈密頓量，但它確實引入了一條清晰的分界線，這條線在物理效果上扮演了類似“邊界”的角色。 事實上，先前已有研究發現，相比于光滑的 （c ornerless ） 糾纏切割，有邊角的糾纏切割方式會在糾纏熵中引入額外的 對數 修正項[3]。 這也啟發了我們對于切割方式的關注。

在研究臨界現象時人們早已知道， 在具有開放邊界條件的系統中 ， 真實物理邊界并不總是 平凡 的。不同的邊界條件，可能對應完全不同的邊界行為，有的邊界無序，有的卻能夠形成自己的低能結構[4, 5]。 同時，研究物理系統邊緣行為的科學家們曾經提出過Li -Haldane-Poilblanc 猜想：對于有些量子系統，真實開邊 體系 的邊緣激發譜 （e dge excitation spectrum ） 與糾纏譜 （e ntanglement spectrum ） 的低能部分有相似的物理性質[6, 7]，這暗示了我們真開邊與糾纏切割在有些系統中有對應關系。 如果糾纏切割在物理上可以被看作一種等效邊界，那么一個自然的問題就是：不同的糾纏切割方式，是否會對應不同的“邊界行為”，從而影響糾纏 熵 中所包含的信息？為了檢驗這一點，我們研究了二維 J-Q ? 自旋模型 在不同切割方式下的邊緣臨界行為[8]。

兩種切割，兩種邊界物理

二維 J-Q ? 模型 是 研究去禁閉量子 臨界 點（DQCP）的重要模型[9]，它的哈密頓量包含一個海森堡相互作用項，其基態具有尼爾反鐵磁序，以及一個用于幫助形成 價鍵固體態 ( VBS) 的六體相互作用項。

在 J-Q ? 模型中，我們比較了兩種幾何結構明顯不同、但都很常見的糾纏切割方式：沿晶格方向的標準切割 （正切） ，以及與晶格成45°的傾斜切割 （斜切） 。數值結果顯示，這兩種切割方式在糾纏邊界上誘導出了本質不同的低能行為。在標準切割下，切割線附近的關聯隨距離衰減，表現得像一個普通 （o rdinary ） 、無序的邊界，糾纏主要由體相的臨界漲落控制；而在傾斜切割下，即使體系整體仍處在量子臨界點，切割線附近卻保持著有限的有序結構，表現出 非凡（ extraordinary） 邊界的特征。這說明，糾纏切割并不是一個中性的選擇，它本身會影響糾纏邊界的物理行為。

圖二：J -Q 3 模型晶格的正切與斜切。（a , b）沿著晶格方向的正切，( c,d) 與晶格呈4 5 °夾角的斜切，( a,c) 在開放邊界條件( OBC) 下研究真實物理邊緣(黑色自旋 ) ，( b,d) 在周期邊界條件( PBC) 下研究糾纏哈密頓量的邊緣，原系統被糾纏二分切割為系統(黑色自旋 ) 與環境(白色自旋 ) 。

糾纏熵只是一個數， 相比之下，糾纏譜包含了更豐富的信息，我們還可以進一步對其進行計算和分析。 糾纏譜描述的是，當我們只觀察體系的一部分時，這一部分內部允許出現的激發模式。 正如前文所言， 在許多量子體系中，人們發現糾纏譜與真實物理邊界上的激發譜非常相似，這意味著糾纏對邊界附近發生的事情高度敏感。在我們的研究中，不同切割方式下的糾纏譜，與相應幾何條件下的 邊緣激發譜 行為高度一致， 因此如果某種切割 方式會在 真實邊界 上引入 額外的低能結構，那么類似的結構也會出現在糾纏邊界上。 它們 會 不可避免地進入糾纏譜，并進一步影響糾纏熵的行為。

圖三：( a,b) 開放邊界條件( OBC) 下的邊緣激發譜， (c,d) 糾纏譜。( a,c) 對應正切，( b,d) 對應斜切。可以看到在相同切割方式下的邊緣激發譜與糾纏譜極其相似，驗證了L i-Haldane-Poilblanc 猜想，并且不同的切割方式體現出了截然不同的激發行為，進一步說明了這會影響糾纏熵的行為。

我們的結果表明，糾纏熵并不總是一個只反映體相性質的量。只有當糾纏切割對應的邊界是普通的、沒有自身低能結構時，糾纏才能作為體相臨界性的可靠探針。正如蘋果里的五角星所提醒的那樣，在研究復雜系統時，觀察方式本身也可能塑造我們看到的結構。在使用糾纏 行為 研究量子多體系統時，也許我們不僅要問體系處在什么相，還需要多問一句：我們是如何把它切開的？

感 謝合作者 們（朱彥璋、劉澤楠、王哲、王艷成、嚴正） 在研究中的貢獻。

參考文獻

[1] G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico, and A. Kitaev, Phys. Rev. Lett. 90, 227902 (2003).

[2] J. D’Emidio and A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 133, 166702 (2024).

[3] E. Fradkin and J. E. Moore, Phys. Rev. Lett. 97, 050404 (2006).

[4] L. Zhang, and F . Wang , Phys. Rev. Lett. 1 18 , 087201 (201 7 ).

[ 5 ] C. Ding, L. Zhang, and W. Guo, Phys. Rev. Lett. 120, 235701 (2018).

[ 6 ] H. Li and F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 101, 010504 (2008).

[ 7 ] D. Poilblanc, Phys. Rev. Lett. 105, 077202 (2010).

[ 8 ] Y. Zhu, Z. Liu, Z. Wang, Y.-C. Wang, and Z. Yan, Phys. Rev. Lett. 136, 046501 (2026).

[ 9 ] A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007).

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文章轉載自“返樸”公眾號