流體力學(xué)的“統(tǒng)一度量衡”

還記得兩年前，雷總在Su7的發(fā)布會(huì)上給全社會(huì)科普了風(fēng)阻系數(shù)Cd，讓我們的老伙計(jì)Cd上了熱搜。

在汽車電動(dòng)化的時(shí)代，續(xù)航里程成為衡量車型競(jìng)爭(zhēng)力的核心指標(biāo)，風(fēng)阻系數(shù)Cd也一躍成為每款新車發(fā)布時(shí)必不可少的核心宣傳點(diǎn)。

Cd究竟有什么魔法，能夠變成評(píng)估汽車和飛機(jī)氣動(dòng)性能的統(tǒng)一度量衡呢？

混亂的 “前標(biāo)準(zhǔn)時(shí)代”

在度量衡的標(biāo)準(zhǔn)確立之前，流體阻力的測(cè)量是混亂的，最原始的方法就是直接測(cè)量物體在流體中受到的力，單位通常是當(dāng)時(shí)的重量單位（如磅或者公斤）。科學(xué)家曾使用旋轉(zhuǎn)臂裝置，將物體帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)，通過平衡塊或彈簧測(cè)力計(jì)直接讀取阻力數(shù)值。

這種測(cè)力方法只能評(píng)價(jià)特定物體在特定場(chǎng)景下的阻力，過于簡(jiǎn)單粗暴。喜歡總結(jié)物理規(guī)律的牛頓也試圖解決物體在流體中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：他通過研究證明了流動(dòng)阻力與流體密度、物體迎風(fēng)面積以及速度的平方成正比：F∝ρAV^2。

后來(lái)的研究者希望找到這個(gè)正比的“比值”到底是多少，于是最早的阻力系數(shù)K（為了簡(jiǎn)化處理同時(shí)也去掉了密度）誕生了：F=KAV^2。

雖然K已經(jīng)具備了一定的“系數(shù)”特征，但它還是有量綱的，而且人們并沒有統(tǒng)一K的取值標(biāo)準(zhǔn)，因此不同實(shí)驗(yàn)室定義的K往往帶有不同的單位和常數(shù)項(xiàng)。

工程的“等效平板”法

相比于理論家的嚴(yán)謹(jǐn)，航空界的工程師們更喜歡直來(lái)直去。他們的邏輯非常樸素：既然我們不知道這個(gè)復(fù)雜物體的阻力特性，那我們就看它的阻力相當(dāng)于多大面積的一塊“標(biāo)準(zhǔn)平板”。

于是在19世紀(jì)的航空早期研究中，工程師們習(xí)慣將任何復(fù)雜物體的阻力，折算成“多少平方的平板阻力”。

垂直平板的阻力是當(dāng)時(shí)最容易測(cè)量且數(shù)據(jù)最穩(wěn)定的。通過將復(fù)雜物體“平板化”，工程師可以一眼看出設(shè)計(jì)的優(yōu)劣。比如一個(gè)機(jī)身的阻力可能只有它實(shí)際截面積平板阻力的1/10 ，這將極大地鼓舞設(shè)計(jì)者的士氣。

這些方法雖然在各自的背景下都促進(jìn)了研究的進(jìn)步，但缺乏公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)。比如，你在巴黎測(cè)得一個(gè)機(jī)翼的性能，到了倫敦或哥廷根，你可能需要一套復(fù)雜的換算表才能讓對(duì)方理解你的數(shù)據(jù)。

這種“度量衡”的不統(tǒng)一，猶如秦國(guó)統(tǒng)一之前華夏大地的混亂制式。這嚴(yán)重阻礙了世界科學(xué)的協(xié)作與交流。

從有量綱到無(wú)量綱

前人的坑還得后人來(lái)填，這里的后人便是牛頓隔壁縣的同鄉(xiāng)，另一位經(jīng)典物理的集大成者——約翰?威廉?斯特拉特。他另外一個(gè)被人熟知的名字便是瑞利勛爵（Lord Rayleigh）。

瑞利破解這一難題的方法便是他發(fā)明的一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，即瑞利法——它的核心思想是任何物理方程的等號(hào)兩邊，其基本量綱（如質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間）必須是齊次的，這也是大名鼎鼎的“量綱分析”最早且最經(jīng)典的形式。

瑞利首先選定了影響阻力 F 的關(guān)鍵物理量：物體的特征長(zhǎng)度 L 、流速 v 、流體密度ρ以及動(dòng)力粘度μ，以下是詳細(xì)的推導(dǎo)過程：

公式右側(cè)最后括號(hào)里的數(shù)，恰巧是我們熟知的雷諾數(shù)。而第一個(gè)括號(hào)中的ρv^2*L^2，L^2也等效為面積A，這是物體尺寸的特征參數(shù)。此時(shí)，瑞利已經(jīng)明確了阻力系數(shù)的基本骨架是ρv^2，而物體周圍復(fù)雜的流動(dòng)過程則應(yīng)該縮減為一個(gè)無(wú)量綱的參數(shù)。

瑞利把牛頓的“平方律”從一種經(jīng)驗(yàn)觀察提升到了數(shù)學(xué)必然性的高度。他證明了：阻力與動(dòng)壓成正比，不是因?yàn)樽矒簦且驗(yàn)槲锢砹烤V的邏輯自洽。而在他推導(dǎo)阻力公式的過程中，實(shí)際也上“預(yù)言”了雷諾數(shù)的必然存在。

哥廷根學(xué)派的 “標(biāo)準(zhǔn)化”

通往流體“度量衡”的道路已經(jīng)被瑞利鋪平，下一步輪到普朗特登場(chǎng)了。

此時(shí)的普朗特想到了上古大神伯努利的啟示：

當(dāng)流體撞擊到一個(gè)物體的正中心（駐點(diǎn)）時(shí)，速度降為0，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓力能。這個(gè)升高的壓力值恰好就是1/2*ρv^2。普朗特心想，如果一個(gè)物體的Cd=1，那就意味著這個(gè)物體受到的平均阻力強(qiáng)度，恰好等于流體完全撞停時(shí)產(chǎn)生的壓力。這給工程師提供了一個(gè)極佳的物理參照系。

“就這么定了，給瑞利的公式加上 1/2 吧”

事實(shí)上這個(gè)1/2的加入并不是偶然，而是具有豐富的物理內(nèi)涵：既然阻力是由流體流過物體產(chǎn)生的壓力差和摩擦力組成的，那么用“物體受到的阻力”除以“流體自帶的動(dòng)壓”，得到的結(jié)果最能反映形狀的效率。

此外，加入1/2還有工程的便利：普朗特在哥廷根建造的世界上第一個(gè)現(xiàn)代意義上的精細(xì)風(fēng)洞，其測(cè)量最直接的數(shù)據(jù)就是皮托管測(cè)得的差壓，而皮托管直接讀取的就是動(dòng)壓——直接用測(cè)量?jī)x器的讀數(shù)作為分母，能極大減少計(jì)算錯(cuò)誤。

于是，1918-1919年普朗特在關(guān)于翼型理論的研究中，正式統(tǒng)一了阻力公式的表達(dá)方式。1921年，隨著普朗特發(fā)表著名的《翼型理論》，現(xiàn)代定義的 Cd 公式正式確立：

國(guó)際公認(rèn)的時(shí)刻

第一次世界大戰(zhàn)期間各國(guó)航空技術(shù)的爆發(fā)式增長(zhǎng)，但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)極其混亂。一戰(zhàn)結(jié)束后，國(guó)際學(xué)術(shù)交流恢復(fù)，流體世界的語(yǔ)言逐漸統(tǒng)一。

1921年，剛剛成立六年的NACA（美國(guó)國(guó)家航空咨詢委員會(huì)）發(fā)布了代號(hào)為124的報(bào)告《機(jī)翼特性的空氣動(dòng)力學(xué)公式與圖表》，它正式在官方文件中確立了無(wú)量綱系數(shù)（Cl和Cd）作為衡量氣動(dòng)性能的標(biāo)準(zhǔn)。

1930年，普朗特的得意門生馮 · 卡門移居美國(guó)，主持加州理工學(xué)院的古根海姆氣動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)室。馮·卡門利用他強(qiáng)大的個(gè)人影響力、加州理工的科研實(shí)力以及與軍方的關(guān)系，將這種“理論上的公認(rèn)”轉(zhuǎn)化成了全美乃至全球工業(yè)界雷打不動(dòng)的“強(qiáng)制性標(biāo)準(zhǔn)”。

至此，流體阻力進(jìn)入了“統(tǒng)一的度量衡”的時(shí)代。

結(jié)尾

流體阻力的度量衡并非一夜之間就被統(tǒng)一，而是在理論與工程迭代的過程中逐步定型。如果要給Cd這個(gè)度量衡定一個(gè)“生日”，那就是1921年。從此，在航空和汽車領(lǐng)域，工程師們?yōu)榱藘?yōu)化每一個(gè)count的Cd而奮斗。

文章轉(zhuǎn)載自“LBM與流體力學(xué)”公眾號(hào)